《12.3 角的平分线的性质》同步习题2021-2022学年人教版数学八年级上册（Word版含答案）

《12.3
角的平分线的性质》同步习题2021-2022年数学人教新版八（上）
一．选择题（共9小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（　　）
A．5：3
B．5：4
C．4：3
D．3：5
2．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上
B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上
D．AB边的中线上
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若△ABC的面积为9，则△ACD的面积为（　　）
A．3
B．
C．6
D．
4．下列关于几何画图的语句，正确的是（　　）
A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB
B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上
C．将射线OA绕点O旋转180°，终止位置OB与起始位置OA形成平角
D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB＝a，BC＝b，则线段AC＝a+b
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（　　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．1
B．6
C．3
D．12
8．如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站的位置有几种选择（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AD＝2，则点D到BC的距离为（　　）
A．1
B．
C．
D．2
二．填空题（共8小题）
10．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝　
　．
11．如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是
　
　．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，AC的长为　
　．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠B＝30°，若DE＝2，则CB的长等于　
　．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为　
　．
15．如图，已知△ABC的周长是8，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是　
　．
16．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm，则点P到OA的距离是　
　cm．
17．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于　
　．
三．解答题（共6小题）
18．点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．
19．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
20．如图，三条直线l1，l2，l3两两相交构成三角形．在这个图中能找出几个到三条直线距离相等的点，为什么？
21．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线且交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，若AB＝12cm，求△DEB的周长．
23．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　
　；
（2）如图②，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图③，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，求S△ABC的值．
参考答案
一．选择题（共9小题）
1．解：作DE⊥AB于点E，
由勾股定理得，AB＝＝10
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴S△ABD＝×AB×DE，S△ACD＝×AC×DC，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：6＝5：3，
故选：A．
2．解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
3．解：作DH⊥AB于H，如图，
由作法得AD平分∠BAC，
∴DC＝DH，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，
∴S△CDA＝S△ABD，
∴S△CDA＝S△ABC＝×9＝3．
故选：A．
4．解：A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB，
因为射线不能延长，
所以A选项错误，不符合题意；
B．因为直线不能反向延长，
所以B选项错误，不符合题意；
C．将射线OA绕点O旋转180°，终止位置OB与起始位置OA形成平角，C选项正确，符号题意；
D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB＝a，BC＝b，则线段AC＝a+b或＝a﹣b．
所以D选项错误，不符合题意．
故选：C．
5．解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积，
设△DEF的面积＝△DGH的面积＝S，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积，
∴24﹣S＝18+S，
解得，S＝3，
故选：B．
6．解：∵BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，
∴DE＝EC，
∵AE+DE＝3（cm），
∴AE+EC＝3（cm），
即：AC＝3cm，
故选：B．
7．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
又∴点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，
即DP长的最小值为3．
故选：C．
8．解：如图所示：M、N、G是三角形的三个外角平分线的三个交点，H为内角平分线的交点，
符合条件的地点有4个，
故选：D．
9．解：过点D作DE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝2，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
10．解：方法一，如图，
取BD中点H，连AH、EH，
∵AB⊥AD，
∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，
∴∠HDA＝∠HAD，
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDA＝∠HDA，
∴∠FDA＝∠HAD，
∴AH∥DF，
∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，
∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，
∴A、H、E三点共线，
∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．
方法二，如图，延长BA和CD交于一点G，
证明三角形BDA和三角形GDA全等，
得A是BG中点，
则AE是中位线，
AE等于CG的一半
故答案为：6．
11．解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝，
∴点D到AC的距离为，
故答案为．
12．解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AC＝．
故答案为．
13．解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC，
∵DE＝2，
∴DC＝2，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD＝BAC＝30°，
∴AD＝2DC＝4，∠B＝∠BAD，
∴AD＝DB＝4，
∴CB＝CD+DB＝2+4＝6，
故答案为：6．
14．解：当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短），
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝3，
∴DE＝3，
即线段DE
的长度的最小值是3，
故答案为：3．
15．解：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OD＝3，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是8，
∴AB+BC+AC＝8，
∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO
＝AB×OE++
＝
＝×（AB+BC+AC）
＝
＝12，
故答案为：12．
16．解：过点P作PD⊥OA于点D，
∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB＝2cm，
∴PD＝PB＝2cm，
故答案为2．
17．解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，
∴DF＝DE＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共6小题）
18．解：∵点P为三角形三个内角平分线的交点，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，如图，
∴PD＝PE＝PF，
设PD＝PE＝PF＝R，
由三角形的面积公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，
∴×AC×BC＝×AC×R+×BC×R+×AB×R，
6×8＝6R+8R+10R，
R＝2，
即PD＝2cm．
答：点P到三边的距离为2cm．
19．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
20．解：作三条直线l1，l2，l3两两相交构成的三角形的内角平分线和外角平分线，它们有4个交点，根据角平分线的性质得每个交点到三条直线的距离相等，
所以在这个图中能找出4个到三条直线距离相等的点．
21．证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
22．解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴DC＝DE，∠DCA＝∠DEA＝90°，
在Rt△DCA和Rt△DEA中，
，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∵BC＝BD+DC，DE＝DC，AC＝BC，
∴AE＝DE+DB，
∴DE+DB+BE＝AE+BE＝AB，
∵AB＝12cm，
∴DE+DB+BE＝12cm，
即△DEB的周长是12cm．
23．解：（1）如图1中，过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）如图2中，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）如图3中，
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9．
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