2020-2021学年上海市高二（上）期中数学试卷 (1)（Word含解析）

2020-2021学年上海市高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
?
1.
直线的斜率的大小为________．
?
2.
行列式中，元素的代数余子式的值为________．
?
3.
直线的一个法向量为________．
?
4.
直线与直线的夹角大小为________．
?
5.
若直线与直线平行，则实数________．
?
6.
已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影为________．
?
7.
线性方程组的增广矩阵为，解为，则三阶行列，的值为________．
?
8.
设，是两个不平行的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为________．
?
9.
已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是________．
?
10.
若，则直线的倾斜角的范围是________．
?
11.
在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最小值为________．
?
12.
在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，则的取值范围为________．
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）
?
点关于直线的对称点的坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
?
已知向量，，则“或”是“”的（
）条件
A.充分非必要
B.必要非充分
C.充要
D.既不充分又非必要
?
已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量与夹角的正切值，则数列是（
）
A.单调递增数列且
B.单调递减数列且
C.单调递增数列且
D.单调递减数列且?
?
已知点，点，点的横坐标、纵坐标都为整数，则的面积的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
?
已知关于、的方程组，为常数，且．
（1）写出此方程组的系数矩阵；
（2）解此方程组．
?
已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量．
求的值；
设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
?
已知坐标平面内第一象限的点到两个定点，距离的比．
（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；
（2）若点到直线的距离为，求直线的点法向式方程和直线的点法向式方程．
?
已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交轴正半轴于点，点为坐标原点．
（1）若的面积为，求直线的方程；
（2）求的最小值，并求此时直线的方程；
（3）求的最小值，并求此时直线的方程．
?
已知在平面直角坐标系中，点、点（其中，为常数，且），点为坐标原点．
设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；
如图，设点，，，，，是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含，的式子表示）；
若，，求的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年上海市高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1.
【答案】
【考点】
直线的斜率
【解析】
直接根据斜率的定义求解即可．
【解答】
∵
直线，
∴
其斜率为：，
2.
【答案】
【考点】
二阶行列式的定义
【解析】
利用行列式的代数余子式的定义直接求解．
【解答】
行列式中，
元素的代数余子式的值为：
．
3.
【答案】
【考点】
空间直线的向量参数方程
直线的方向向量
【解析】
求出直线的斜率，然后推出与已知直线垂直的直线的斜率，然后写出一个直线的法向量即可．
【解答】
直线的斜率为，
则它的法向量所在直线的斜率是，直线的一个法向量为，
4.
【答案】
【考点】
两直线的夹角
【解析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论．
【解答】
∵
直线的斜率为，倾斜角为，
而直线的倾斜角为，
故直线与直线的夹角大小为，
5.
【答案】
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
由题意利用两条直线平行的性质，求得的值．
【解答】
∵
直线与直线平行，
∴
，求得，
6.
【答案】
【考点】
平面向量数量积的含义与物理背景
【解析】
根据条件及投影的计算公式，即可求出投影的值．
【解答】
∵
，
∴
在的方向上的投影为．
7.
【答案】
【考点】
几种特殊的矩阵变换
【解析】
是方程的解，代入即可求得和的值，代入行列式，按第一列展开，即可求得行列式的值．
【解答】
由题意可知：是方程的解，
解得，
∴
．
8.
【答案】
【考点】
平行向量（共线）
【解析】
根据题意，由向量的加法运算可得，又由，，三点共线，必有，进而可得，则有，分析可得的值，即可得答案．
【解答】
根据题意，若，，，则，
若，，三点共线，必有，
设，则有，则有，解可得，
9.
【答案】
【考点】
直线的斜率
【解析】
求出直线的方程，与已知直线联立，即可得的取值范围．
【解答】
∵
，点，
∴
，
∴
直线的方程：，，
∵
可得，
∴
，
解得：或，
∴
．
10.
【答案】
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据直线方程求出方向向量和斜率，再根据三角函数的性质求出倾斜角的取值范围．
【解答】
直线的方向向量为，
所以直线的斜率存在时为；
又，
所以，
所以，
所以倾斜角的取值范围是．
11.
【答案】
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
根据点到直线距离公式和绝对值三角不等式即可求出．
【解答】
由条件得，即，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，（，时可取等号），
故的最小值为，
12.
【答案】
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
利用数形结合以及等系数和线知识，即可求解．
【解答】
当位于点时，取得最大值，此时当为点时，取得最小值，此时，，综上可得：的取值范围为，
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）
【答案】
B
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
设点关于直线的对称点的坐标为，则由求得、的值，可得的坐标．
【解答】
设点关于直线的对称点的坐标为，
则由由求得，故，
即答案为：．
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据向量的数量积，由充分必要条件的定义判断出即可．
【解答】
由或可得，
但是，可得，不能推出由或，
所以“或”是“”的充分不必要条件，
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
数列的极限
【解析】
设，，，由平面向量数量积的运算可得，再由已知得到数列的通项公式，则答案可求．
【解答】
设，，，
则，，
故．
∴
，
则数列是单调递减数列且．
【答案】
C
【考点】
三角形的面积公式
【解析】
直接利用三角形的面积和公式和不等式的性质，求出的面积的最小值．
【解答】
首先证明一个结论：，，
所以，
由于点，点，所以，
设，所以，
故，
由于和都为整数，所以，
故．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
【答案】
方程组的系数矩阵为；
，
，
．
当时，，原方程组有无数解；
当时，原方程组有唯一解．
【考点】
几种特殊的矩阵变换
【解析】
（1）直接由已知方程组写方程组的系数矩阵；
（2）由方程组写出行列式、、，由求得值，代入、验证方程组解的情况，再求出是方程组的解．
【解答】
方程组的系数矩阵为；
，
，
．
当时，，原方程组有无数解；
当时，原方程组有唯一解．
【答案】
解：∵
，，，
∴
.
，
∴
.
∵
与的夹角为锐角，
∴
，
即，
解得或.
与同向时，设，
即，
∴
且，∴
解得，
∴
实数的取值范围是或且．
【考点】
平面向量数量积
平面向量的夹角
【解析】
（1）进行数量积的计算即可求出；
（2）进行数量积的运算即可求出，根据与的夹角为锐角即可得出，结合与不同向可得出，从而得出的取值范围．
【解答】
解：∵
，，，
∴
.
，
∴
.
∵
与的夹角为锐角，
∴
，
即，
解得或.
与同向时，设，
即，
∴
且，∴
解得，
∴
实数的取值范围是或且．
【答案】
设，∵
，
∴
，
化简，得：，
令，得，解得或，
∴
点的横坐标为或．
∵
点到直线的距离为，，
∴
，，
∴
直线的方程为，
把代入，得，
解得，，
∴
点的坐标为或或或，
∴
直线的方程为或，
∴
直线的点法向式方程为，
直线的点法向式方程为．
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
（1）设，由，列方程推导出，由此能求出点的横坐标．
（2）由点到直线的距离为，，得，，从而直线的方程为，由此能求出结果．
【解答】
设，∵
，
∴
，
化简，得：，
令，得，解得或，
∴
点的横坐标为或．
∵
点到直线的距离为，，
∴
，，
∴
直线的方程为，
把代入，得，
解得，，
∴
点的坐标为或或或，
∴
直线的方程为或，
∴
直线的点法向式方程为，
直线的点法向式方程为．
【答案】
设直线，
由直线过可得，，
∴
，
由可得，，，
所以直线的方程为即，
，
当且仅当，时取等号，
此时直线方程，
∵
，三点共线，
∴
，
当且仅当，时取等号，此时直线方程．
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
（1）设直线，由直线过可得，，然后结合三角形的面积公式可得，从而可求；
，展开后结合基本不等式可求；
（3）由，三点共线，可得，然后结合向量数量积的坐标表示及基本不等式即可求解．
【解答】
设直线，
由直线过可得，，
∴
，
由可得，，，
所以直线的方程为即，
，
当且仅当，时取等号，
此时直线方程，
∵
，三点共线，
∴
，
当且仅当，时取等号，此时直线方程．
【答案】
解：因为
，
点为线段上靠近点的三等分点，
所以，
所以，即.
由题意，得，
，
所以，
对任意的正整数，，且，
有，
，
所以，
所以
.
时，线段上存在一点，
使得，，
且存在点，，
则，
，
所以，
即线段上一点，到点和点的距离之和，
作点关于线段的对称点，
如图所示，
则最小值为．
【考点】
向量的共线定理
向量的三角形法则
平面向量的综合题
【解析】
（1）由向量共线，可知，向量可以用向量表示出来，再根据为的三等分点，即可解决．
向量可以用与向量表示出来，向量也可以用与向量表示出来，联立可以发现规律，进而问题得到解决．
（3）转化为直线上一点到点，的距离之和．
?
?
?
??
【解答】
解：因为
，
点为线段上靠近点的三等分点，
所以，
所以，即.
由题意，得，
，
所以，
对任意的正整数，，且，
有，
，
所以，
所以
.
时，线段上存在一点，
使得，，
且存在点，，
则，
，
所以，
即线段上一点，到点和点的距离之和，
作点关于线段的对称点，
如图所示，
则最小值为．
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