2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.2平行线分线段成比例同步练习卷(Word版,附答案解析)

4.2
平行线分线段成比例
一．选择题
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（　　）
A．7
B．7.5
C．8
D．4.5
2．如图所示，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：AC＝（　　）
A．1：4
B．1：5
C．1：6
D．1：7
3．如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（　　）
A．EG＝4GC
B．EG＝3GC
C．EG＝GC
D．EG＝2GC
4．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
①；②；③；④．
其中正确比例式的个数有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
5．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD：DB＝3：1，AE＝6，则AC等于（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，已知AB＝2，AC＝5，DF＝6，则DE的长是（　　）
A．3
B．
C．
D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（　　）
A．
B．
C．2
D．2
9．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（　　）
A．3
B．6
C．
D．10
二．填空题
11．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，＝，DE＝6，则EF＝　
　．
12．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　
　．
13．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　
　．
14．如图，在△ABC中，点D，E在AC边上，且AE＝ED＝DC．点F，M在AB边上，且FE∥MD∥BC，延长FD交BC的延长线于点N，则的值＝　
　．
15．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝1.2cm，则AB＝　
　cm．
三．解答题
16．已知：如图，在三角形ABC中，FG∥DE∥BC，且BD＝DF＝AF；
求证：DE+FG＝BC
17．已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB＝4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D，求证：BC＝2CD．
18．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：FD＝AD：DB．
19．如图1，△ABC中，AB＝AC，DE∥BC分别交AC、AB于D、E．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若将△ADE绕点A旋转一定的角度至图2的位置，那么CD＝BE还成立吗？说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（　　）
A．7
B．7.5
C．8
D．4.5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，即＝，然后利用比例性质求DF的长．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，即＝，
∴DF＝．
故选：D．
2．如图所示，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：AC＝（　　）
A．1：4
B．1：5
C．1：6
D．1：7
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴
∴AF：FC＝1：6，
∴AF：AC＝1：7，
故选：D．
3．如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（　　）
A．EG＝4GC
B．EG＝3GC
C．EG＝GC
D．EG＝2GC
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，DB＝4FB，
∴．
故选：B．
4．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
①；②；③；④．
其中正确比例式的个数有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】由题中DE∥BC，EF∥AB，可得其对应线段成比例，再根据题中所得的比例关系，即可判定题中正确的个数．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴＝，＝，
即＝，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
即＝，
＝≠，
所以①②④正确，故题中正确的个数为3个．
故选：B．
5．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，AE＝AD，
∴，
∴AF：FC＝1：6，
∴的值
故选：D．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD：DB＝3：1，AE＝6，则AC等于（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【解答】解：∵AD：DB＝3：1，
∴AD：AB＝3：4，
∵DE∥BC，
∴，
∴AC＝8，
故选：D．
7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，已知AB＝2，AC＝5，DF＝6，则DE的长是（　　）
A．3
B．
C．
D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出DE的长．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
解得，DE＝，
故选：B．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（　　）
A．
B．
C．2
D．2
【分析】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，
根据勾股定理，AC＝BD＝＝＝，
∵EF∥AC∥HG，
∴＝，
∵EH∥BD∥FG，
∴＝，
∴+＝+＝1，
∴EF+EH＝AC＝，
∵EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH的周长＝2（EF+EH）＝2．
故选：D．
9．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据题意画出图形，由相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC；又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理，可得B正确．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴，故A错误，
，故B正确，
，，故C错误，
，故D错误．
故选：B．
10．如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（　　）
A．3
B．6
C．
D．10
【分析】根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，即可求得△CBE∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△CBE∽△AED，
∴BE：AE＝CE：ED＝3：5，
∵CD＝16．CE+ED＝CD，
∴DE＝，
故选：D．
二．填空题
11．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，＝，DE＝6，则EF＝　9　．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，即＝，然后根据比例性质求EF．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
∴EF＝9．
故答案为9．
12．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　2：1　．
【分析】根据已知条件推出AO＝AG，根据平行线分线段成比例定理求出，，推出AO＝AG，OH＝OG﹣HG＝AG，代入求出即可．
【解答】解：∵点O是线段AG的中点，
∴OA＝OG＝AG，
∵DE∥BC，AD：DB＝3：1，
∴＝＝＝，＝＝，
∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG，
∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，
故答案为：2：1．
13．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　9　．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出AD：DF：FB＝AE：EG：GC＝3：2：1，设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，根据AG＝15得出方程3x+2x＝15，求出x，再求出答案即可．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
即AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9．
14．如图，在△ABC中，点D，E在AC边上，且AE＝ED＝DC．点F，M在AB边上，且FE∥MD∥BC，延长FD交BC的延长线于点N，则的值＝　　．
【分析】首先证明EF：BC＝1：3，再利用全等三角形的性质证明EF＝CN即可解决问题．
【解答】解：∵EF∥DM∥BC，AE＝DE＝CD，
∴，
在△EFD与△CND中，
，
∴△EFD≌△CND（AAS），
∴EF＝CN，
∵CN：BC＝1：3，
∴CN：BN＝1：4，
∴，
故答案为．
15．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝1.2cm，则AB＝　6　cm．
【分析】作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理可得到AG，FG的长，从而也就求得了AB的长．
【解答】解：作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理，得BG＝FG，根据平行线分线段成比例定理，得：，AG＝3.6cm，则FG＝2.4cm，所以AB＝1.2+4.8＝6cm．
三．解答题
16．已知：如图，在三角形ABC中，FG∥DE∥BC，且BD＝DF＝AF；
求证：DE+FG＝BC
【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，由FG∥BC得到，由DE∥BC得到，即DE＝BC，所以DE+FG＝BC+BC＝BC．
【解答】证明：∵FG∥BC，
∴，
而BD＝DF＝AF，
∴，即FG＝BC，
∵DE∥BC，
∴，即DE＝BC，
∴DE+FG＝BC+BC＝BC．
17．已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB＝4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D，求证：BC＝2CD．
【分析】作CF∥DE，交AB于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME∥CF得到＝，加上AM＝MC，则AE＝EF，由于AB＝4AE，所以EF＝AB，BF＝AB，则BF＝2EF，然后由CF∥DE得到＝＝2，所以BC＝2CD；
【解答】证明：作CF∥DE，交AB于F，如图，
∵ME∥CF，
∴＝，
而M为AC边的中点，
∴AM＝MC，
∴AE＝EF，
∵AB＝4AE，
∴EF＝AB，BF＝AB，
∴BF＝2EF，
∵CF∥DE，
∴＝＝2，
∴BC＝2CD；
18．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：FD＝AD：DB．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，＝，推出＝即可．
【解答】解：∵EF∥CD，DE∥BC，
∴＝，＝，
∴＝，
即AF：FD＝AD：DB．
19．如图1，△ABC中，AB＝AC，DE∥BC分别交AC、AB于D、E．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若将△ADE绕点A旋转一定的角度至图2的位置，那么CD＝BE还成立吗？说明理由．
【分析】（1）根据平行线截线段成比例证明CD＝BE；
（2）利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等证得CD＝BE．
【解答】（1）证明：如图1，∵DE∥BC，
∴＝（平行线截线段成比例）；
又∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴AC﹣AD＝AB﹣AE，即CD＝BE；
（2）解：CD＝BE还成立；
理由如下：∵△ADE绕点A旋转一定的角度至图2的位置，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又由（1）知，AE＝AD，
∴在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD＝BE（全等三角形的对应边相等）．