2021-2022学年 北师大版九年级数学上册4.8 图形的位似 同步练习（word版含答案）

4.8
图形的位似
一．选择题
1．已知△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，且A（3，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，则A的对应点A1的坐标是（　　）
A．（6，2）
B．（﹣6，﹣2）
C．（6，2）或（﹣6，﹣2）
D．（2，6）
2．如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，则△OAB与△DFE位似比为（　　）
A．3
B．2
C．1
D．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中点B的坐标为（4，2），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了△A′B′C′，则点B对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣8）
B．（﹣8，﹣4）
C．（﹣6，﹣4）
D．（8，4）
4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，原点O是位似中心，位似比OA：OD＝1：3，若AB＝3，则DE的长为（　　）
A．5
B．6
C．9
D．12
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，且＝3，则△ABC的面积为（　　）
A．15
B．12
C．9
D．6
6．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）
A．4：9
B．2：5
C．2：3
D．：
7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4），B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为把△ABC缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1）
B．（﹣1，2）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2）
D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
8．如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的周长是2，则△ABC的周长是（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
9．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（　　）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k?OP′．
A．①②③④
B．②③④
C．②③
D．②④
10．如图，以点O为位似中心，画一个四边形A'B'C'D'，使它与四边形ABCD位似，且相似比为，则下列说法错误的是（　　）
A．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
B．点C，O，C′三点在同一直线上
C．＝
D．OB＝OB′
二．填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝　
　．
12．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为　
　
13．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE＝EA，则＝　
　．
14．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D（0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是　
　．
15．如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　
　．
三．解答题
16．已知：如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，点C1的坐标是　
　；
（2）△A1B1C1的面积是　
　平方单位．
17．如图在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
（3）则：．
18．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1dm，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米，与地面的夹角为45°，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似（树干对应BC边），求原树高（结果保留根号）
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，多边形ABCDEF是坐标系内的一个零件图．请回答下列问题：
（1）A点坐标是（﹣2，4），则你认为D点的坐标应为　
　．
（2）将多边形ABCDEF的纵、横坐标分别变成原来的，请你在原坐标系内画出所得的新的多边形A1B1C1D1E1F1．
（3）若小明同学另建立一个直角坐标系，使D点坐标是（2，1），C点坐标是（﹣6，1），则这时A点坐标是　
　．
（4）小明也按（2）的要求在他自己建立的坐标系中画了一个新多边形，小明所得的新多边形与（2）中所得的多边形A1B1C1D1E1F1是否全等？　
　（填“全等“或“不全等“）．
20．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．
（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD．（要求：新图与原图的相似比为2：1）；
（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标；
（3）求△OCD的面积；
（4）如果△OAB内部一点M的坐标为（m，n），写出点M在△OCD内的对应点N的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．已知△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，且A（3，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，则A的对应点A1的坐标是（　　）
A．（6，2）
B．（﹣6，﹣2）
C．（6，2）或（﹣6，﹣2）
D．（2，6）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，A（3，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，
∴点A的对应点A1的坐标为（3×2，1×2）或（3×（﹣2），1×（﹣2）），即（6，2）或（﹣6，﹣2），
故选：C．
2．如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，则△OAB与△DFE位似比为（　　）
A．3
B．2
C．1
D．
【分析】根据题意求出OA、DF，根据位似比的概念计算，得到答案．
【解答】解：由题意得，OA＝8，DF＝4，
∴△OAB与△DFE位似比为＝2，
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中点B的坐标为（4，2），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了△A′B′C′，则点B对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣8）
B．（﹣8，﹣4）
C．（﹣6，﹣4）
D．（8，4）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC中点B的坐标为（4，2），以坐标原点O为位似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了△A′B′C′，
∴点B对应点B′的坐标为：[4×（﹣2），2×（﹣2）]即（﹣8，﹣4）．
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，原点O是位似中心，位似比OA：OD＝1：3，若AB＝3，则DE的长为（　　）
A．5
B．6
C．9
D．12
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，进而得到△OAB与△ODE，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴＝，即＝，
解得，DE＝9，
故选：C．
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，且＝3，则△ABC的面积为（　　）
A．15
B．12
C．9
D．6
【分析】根据位似图形的性质得到AC∥A1C1，求出，△ABC与△A1B1C1的相似比，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴AC∥A1C1，
∵C1为OC的中点，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∵＝3，
∴△ABC的面积＝12，
故选：B．
6．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　）
A．4：9
B．2：5
C．2：3
D．：
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，
故选：A．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4），B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为把△ABC缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1）
B．（﹣1，2）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2）
D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【分析】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．
【解答】解：∵A（﹣2，4），B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为把△ABC缩小，
∴点B的对应点B′的坐标是：（﹣3，﹣1）或（3，1）．
故选：D．
8．如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的周长是2，则△ABC的周长是（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】先根据三角形中位线的性质得到DE＝AB，从而得到相似比，再利用位似的性质得到△DEF∽△DBA，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE＝AB，
∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，
∴△DEF∽△DBA，
∴＝，
∴△ABC的周长＝2×2＝4．
故选：B．
9．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（　　）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k?OP′．
A．①②③④
B．②③④
C．②③
D．②④
【分析】由位似图形的定义可知：如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；故位似图形一定有位似中心；且位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k?OP′．继而可得位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形．
【解答】解：①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误；
②位似图形一定有位似中心；正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；正确；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k?OP′；正确．
故选：B．
10．如图，以点O为位似中心，画一个四边形A'B'C'D'，使它与四边形ABCD位似，且相似比为，则下列说法错误的是（　　）
A．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
B．点C，O，C′三点在同一直线上
C．＝
D．OB＝OB′
【分析】根据位似图形的概念、相似多边形的性质计算，判断即可．
【解答】解：∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，
∴四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD，A选项说法正确，不符合题意；
∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，
∴点C，O，C′三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；
∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，位似比为，
∴＝，C选项说法正确，不符合题意；
∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似，位似比为，
∴AB∥A′B′，
∴＝＝，
∴OB＝OB′，D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
二．填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝　2.5　．
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k得到位似比为，然后根据相似的性质计算AB的长．
【解答】解：∵A（1.5，0），D（4.5，0），
∴＝＝，
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴＝＝
∴AB＝DE＝×7.5＝2.5．
故答案为2.5．
12．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为　4：9　
【分析】根据两个图形是相似形，根据相似图形的性质：面积之比等于对应边之比的平方可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比4：9，
故答案为：4：9．
13．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE＝EA，则＝　　．
【分析】根据位似变换的概念得到EF∥AB，进而证明△OEF∽△OAB，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴＝＝，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的位似比为，
∴＝，
故答案为：．
14．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），D（0，6），已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，则点B1的坐标是　（4，3）或（﹣4，﹣3）　．
【分析】由矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，又由点B的坐标为（8，6），即可求得答案．
【解答】解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，位似比为，
∴点B1的坐标是：（4，3）或（﹣4，﹣3）．
故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．
15．如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　（3，2）或（﹣9，﹣2）　．
【分析】首先根据直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得点B′的坐标．
【解答】解：∵y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，
令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣3，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
∴＝＝，
∴O′B′＝2，AO′＝6，
∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；
当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．
∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．
故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）．
三．解答题
16．已知：如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，点C1的坐标是　（1，0）　；
（2）△A1B1C1的面积是　10　平方单位．
【分析】（1）利用位似图形的性质结合位似比得出对应点位置进而求出即可；
（2）利用梯形面积减去周围三角形面积求出△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（2））△A1B1C1的面积是：（2+4）×6﹣×2×4﹣×2×4＝10．
故答案为：10．
17．如图在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
（3）则：．
【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）利用对应点横坐标与纵坐同时乘以﹣2，进而得出各点的位置；
（3）利用位似图形的性质得出面积比即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）∵△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2，关于原点位似，位似比为1：2，
∴：＝1：4．
18．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1dm，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米，与地面的夹角为45°，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似（树干对应BC边），求原树高（结果保留根号）
【分析】（1）在OA，OB，OC上分别截取OA′＝OA，OB′＝OB，OC′＝OC，首尾顺次连接A′，B′，C′即为所求；
（2）先得出OB＝OC＝4，BC＝4，∠ABC＝∠DEF＝45°，从而由△DEF∽△ABC知＝，代入求出EF即可得答案．
【解答】解：（1）如图1所示，△A′B′C′即为所求．
（2）∵OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠DEF＝45°，BC＝＝4，
∵△DEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EF＝2，
答：原树高为2米．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，多边形ABCDEF是坐标系内的一个零件图．请回答下列问题：
（1）A点坐标是（﹣2，4），则你认为D点的坐标应为　（4，﹣2）　．
（2）将多边形ABCDEF的纵、横坐标分别变成原来的，请你在原坐标系内画出所得的新的多边形A1B1C1D1E1F1．
（3）若小明同学另建立一个直角坐标系，使D点坐标是（2，1），C点坐标是（﹣6，1），则这时A点坐标是　（﹣4，7）　．
（4）小明也按（2）的要求在他自己建立的坐标系中画了一个新多边形，小明所得的新多边形与（2）中所得的多边形A1B1C1D1E1F1是否全等？　全等　（填“全等“或“不全等“）．
【分析】（1）依据平面直角坐标系，即可得到D点的坐标；
（2）依据多边形ABCDEF的纵、横坐标分别变成原来的，画出图形即可得到新的多边形A1B1C1D1E1F1；
（3）依据D点坐标是（2，1），C点坐标是（﹣6，1），即可得到坐标原点的位置，进而得出A点坐标；
（4）依据（2）的要求，画出图形，即可得到新多边形与（2）中所得的多边形A1B1C1D1E1F1全等．
【解答】解：（1）由图可得，D点的坐标应为（4，﹣2）；
故答案为：（4，﹣2）；
（2）如图所示，多边形A1B1C1D1E1F1即为所求；
（3）∵D点坐标是（2，1），C点坐标是（﹣6，1），
∴A点坐标为（﹣4，7）；
故答案为：（﹣4，7）；
（4）将多边形ABCDEF的纵、横坐标分别变成原来的，所得的新多边形与（2）中所得的多边形A1B1C1D1E1F1全等，
故答案为：全等．
20．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．
（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD．（要求：新图与原图的相似比为2：1）；
（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标；
（3）求△OCD的面积；
（4）如果△OAB内部一点M的坐标为（m，n），写出点M在△OCD内的对应点N的坐标．
【分析】（1）根据位似变换的性质，即可画出位似三角形OCD；
（2）根据位似变换的性质，即可求得：A、B的对应点C、D的坐标；
（3）首先构造直角梯形CDEF，由S△OCD＝S梯形CDEF﹣S△ODE﹣S△OCF，即可求得△OCD的面积；
（4）结合图形，由位似变化的性质，即可求得：点M在△OCD内的对应点N的坐标．
【解答】解：（1）如图：
（2）C（﹣6，﹣2），D（﹣4，2）；
（3）如图所示：
∵DE＝4，OE＝2，OF＝2，EF＝4，CF＝6，
∴S△OCD＝S梯形CDEF﹣S△ODE﹣S△OCF＝（DE+CF）?EF﹣DE?OE﹣CF?OF，
＝×（4+6）×4﹣×4×2﹣×6×2，
＝10；
（4）∵△OAB内部一点M的坐标为（m，n），
∴点M在△OCD内的对应点N的坐标为（﹣2m，﹣2n）．