2021-2022学年 北师大版九年级数学上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习（word版含答案）

2.4
用因式分解法求解一元二次方程
一．选择题
1．方程x（x﹣6）＝0的解是（　　）
A．x＝6
B．x1＝0，x2＝6
C．x＝﹣6
D．x1＝0，x2＝﹣6
2．小华在解一元二次方程x2﹣x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（　　）
A．x＝4
B．x＝3
C．x＝2
D．x＝0
3．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11
B．11或12
C．13
D．11和13
4．已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（　　）
A．1＜L＜5
B．2＜L＜6
C．5＜L＜9
D．6＜L＜10
5．定义一种新运算：a?b＝a（a﹣b），例如，4?3＝4×（4﹣3）＝4，若x?2＝3，则x的值是（　　）
A．x＝3
B．x＝﹣1
C．x1＝3，x2＝1
D．x1＝3，x2＝﹣1
6．方程x2﹣14x+48＝0的两根是菱形两条对角线的长，则这个菱形的周长是（　　）
A．40
B．30
C．28
D．20
7．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（　　）
A．13
B．18
C．22
D．26
8．已知菱形的两条对角线长是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根，则此菱形的边长是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
9．方程x2＝2020x的解是　
　．
10．方程x（x+1）＝3（x+1）的根是　
　．
11．等腰△ABC的两边长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则△ABC的周长为　
　．
12．规定一种运算：＝ad﹣bc，例如：＝8，运算得：5x﹣2＝8，x＝2；按照这种运算的规定，求＝5中x的值为　
　．
13．现定义运算“?”，对于任意实数a、b，都有a?b＝a2﹣3a+b；如：3?5＝32﹣3×3+5，若x?2＝6，则实数x的值是　　．14．对于实数a，b，定义运算“
”：a
b＝，例如4
2，因为4＞2，所以4
2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两个根，则x1
x2＝　
　．
三．解答题
15．用适当方法解下列方程
（1）3（x+2）2＝x（2+x）；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
16．用合适的方法解下列方程．
（1）x2+12x+27＝0
（2）x（5x+4）＝5x+4．
17．基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m4+n4+2m2n2）﹣4＝0，求m2+n2的值．
18．阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
19．解方程
（1）x2﹣2＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）x（x+6）＝7；
（4）0.2x2+5＝．
20．选用合适的方法解下列方程：
（1）（x+4）2＝5（x+4）；
（2）（x+1）2＝4x；
（3）（x+3）2＝（1﹣2x）2；
（4）2x2﹣10x＝3．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．方程x（x﹣6）＝0的解是（　　）
A．x＝6
B．x1＝0，x2＝6
C．x＝﹣6
D．x1＝0，x2＝﹣6
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：x（x﹣6）＝0
x＝0或x﹣6＝0
解得x1＝0，x2＝6．
故选：B．
2．小华在解一元二次方程x2﹣x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（　　）
A．x＝4
B．x＝3
C．x＝2
D．x＝0
【分析】把原方程的左边利用提取公因式的方法变为两个一次因式乘积的形式，根据两因式积为0，两因式中至少有一个为0，得到两个一元一次方程，求出两方程的解即为原方程的解，进而得到被漏掉的根．
【解答】解：x2﹣x＝0，
提公因式得：x（x﹣1）＝0，
可化为：x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
则被漏掉的一个根是0．
故选：D．
3．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）＝0的根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11
B．11或12
C．13
D．11和13
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：由（x﹣2）（x﹣4）＝0解得x＝2或4，
由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，
因此，本题的第三边应满足3＜x＜9，
所以x＝4，即周长为3+4+6＝13．故选C．
4．已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（　　）
A．1＜L＜5
B．2＜L＜6
C．5＜L＜9
D．6＜L＜10
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6＝0，得到x＝2或x＝3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L的取值范围．
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x＝2或x＝3，即三角形的两边长是2和3，
∴第三边a的取值范围是：1＜a＜5，
∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．
故选：D．
5．定义一种新运算：a?b＝a（a﹣b），例如，4?3＝4×（4﹣3）＝4，若x?2＝3，则x的值是（　　）
A．x＝3
B．x＝﹣1
C．x1＝3，x2＝1
D．x1＝3，x2＝﹣1
【分析】先根据新定义得到x（x﹣2）＝3，再把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：∵x?2＝3，
∴x（x﹣2）＝3，
整理得x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
故选：D．
6．方程x2﹣14x+48＝0的两根是菱形两条对角线的长，则这个菱形的周长是（　　）
A．40
B．30
C．28
D．20
【分析】先利用因式分解法求出x2﹣14x+48＝0的解为x1＝6，x2＝8，再根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理计算出菱形的边长，然后求菱形的周长．
【解答】解：x2﹣14x+48＝0，
（x﹣6）（x﹣8）＝0，
x﹣6＝0或x﹣8＝0，
所以x1＝6，x2＝8，
所以菱形的边长＝＝5，
所以菱形的周长＝4×5＝20．
故选：D．
7．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（　　）
A．13
B．18
C．22
D．26
【分析】先利用因式分解法解方程，再由三角形三边关系判断出第三边的长度范围，从而确定周长的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣13x+36＝0，
∴（x﹣4）（x﹣9）＝0，
则x﹣4＝0或x﹣9＝0，
解得x1＝4，x2＝9，
则此三角形第三边的长度需满足5＜第三边长度＜13，
所以此三角形的周长需满足18＜周长＜26，
故选：C．
8．已知菱形的两条对角线长是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根，则此菱形的边长是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出一元二次方程的解确定出两条对角线长，根据勾股定理即可求出菱形的边长．
【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0，
分解得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x＝1或x＝2，
∵菱形的对角线互相垂直
∴根据勾股定理得：＝，
故选：C．
二．填空题
9．方程x2＝2020x的解是　x1＝0，x2＝2020　．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣2020x＝0，
∴x（x﹣2020）＝0，
则x＝0或x﹣2020＝0，
解得x1＝0，x2＝2020，
故答案为：x1＝0，x2＝2020．
10．方程x（x+1）＝3（x+1）的根是　x1＝﹣1，x2＝3　．
【分析】先移项得到x（x+1）﹣3（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x+1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为x1＝﹣1，x2＝3．
11．等腰△ABC的两边长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则△ABC的周长为　12或6或10．　．
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣6x+8＝0得到x1＝4，x2＝2，根据题意等腰△ABC的三边为4、4、4或2、2、2或4、4、2，然后计算三角形周长．
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣4）（x﹣2）＝0，
∴x1＝4，x2＝2，
∵等腰△ABC的两边长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，
∴等腰△ABC的三边为4、4、4或2、2、2或4、4、2，
∴△ABC的周长为12或6或10．
故答案为12或6或10．
12．规定一种运算：＝ad﹣bc，例如：＝8，运算得：5x﹣2＝8，x＝2；按照这种运算的规定，求＝5中x的值为　5或﹣1．　．
【分析】根据题意得出方程x2﹣4x﹣5＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：根据题意得：x2﹣4x＝5，
x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0，x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1．
故答案为：5或﹣1．
13．现定义运算“?”，对于任意实数a、b，都有a?b＝a2﹣3a+b；如：3?5＝32﹣3×3+5，若x?2＝6，则实数x的值是　　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】4或﹣1．
【分析】根据新定义型运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x＝4或x＝﹣1．
故答案为：4或﹣1．
14．对于实数a，b，定义运算“
”：a
b＝，例如4
2，因为4＞2，所以4
2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的两个根，则x1
x2＝　3或﹣3　．
【分析】先利用因式分解法得到x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2，然后根据新定义进行计算．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2，
所以x1
x2＝2
3＝2×3﹣32＝﹣3，或x1
x2＝3
2＝32﹣2×3＝3．
故答案为3或﹣3．
三．解答题
15．用适当方法解下列方程
（1）3（x+2）2＝x（2+x）；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
【分析】（1）利用提公因式法解方程即可；
（2）利用十字相乘法解方程即可．
【解答】解：（1）∵3（x+2）2＝x（2+x），
∴3（x+2）2﹣x（2+x）＝0，
∴（x+2）（3x+6﹣x）＝0，
∴x+2＝0或2x+6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣3；
（2）∵2x2+3x﹣2＝0，
∴（x+2）（2x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或2x﹣1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝．
16．用合适的方法解下列方程．
（1）x2+12x+27＝0
（2）x（5x+4）＝5x+4．
【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）分解因式得：（x+9）（x+3）＝0，
x+9＝0，x+3＝0，
x1＝﹣9，x2＝﹣3；
（2）移项得：x（5x+4）﹣（5x+4）＝0，
（5x+4）（x﹣1）＝0，
5x+4＝0，x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝1．
17．基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m4+n4+2m2n2）﹣4＝0，求m2+n2的值．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x＝0或3x﹣1＝0，然后解一次方程即可；
（2）设t＝m2+n2（t≥0），则原方程变为t2﹣4＝0，利用因式分解法解方程得到t的值．
【解答】解：（1）由原方程得x（3x﹣1）＝0，
∴x＝0或3x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝；
（2）设t＝m2+n2（t≥0），则原方程变为t2﹣4＝0．
所以（t﹣2）（t+2）＝0．
则t﹣2＝0或t+2＝0，
所以t＝2或t＝﹣2（舍去）．
即m2+n2的值是2．
18．阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
【分析】分为两种情况：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0，
（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）．
（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．
19．解方程
（1）x2﹣2＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）x（x+6）＝7；
（4）0.2x2+5＝．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）整理后求出b2﹣4ac的值，再求出即可．
【解答】解：（1）x2﹣2＝0，
（x﹣）（x+）＝0，
x﹣＝0，x+＝0，
x1＝，x2＝﹣；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0，3x+2＝0，
x1＝1，x2＝﹣；
（3）x（x+6）＝7，
整理得：x2+6x﹣7＝0，
（x+7）（x﹣1）＝0，
x+7＝0，x﹣1＝0，
x1＝﹣7，x2＝1；
（4）0.2x2+5＝，
整理得：2x2﹣15x+50＝0，
b2﹣4ac＝（﹣15）2﹣4×2×50＜0，
此方程无实数根．
20．选用合适的方法解下列方程：
（1）（x+4）2＝5（x+4）；
（2）（x+1）2＝4x；
（3）（x+3）2＝（1﹣2x）2；
（4）2x2﹣10x＝3．
【分析】（1）先移项，然后提公因式，这样转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
（2）整理成一般式，然后分解因式，化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
（3）直接开平方，化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
（4）先找出a，b，c，求出Δ＝b2﹣4ac的值，再代入求根公式求解即可．
【解答】解：（1）（x+4）2＝5（x+4）；
（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴x+4＝0，x﹣1＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1；
（2）（x+1）2＝4x，
整理得，x2﹣2x+1＝0，
（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝1；
（3）（x+3）2＝（1﹣2x）2，
x+3＝±（1﹣2x），
∴x+3＝1﹣2x，x+3＝﹣1+2x，
∴x1＝﹣，x2＝4；
（4）2x2﹣10x＝3，
2x2﹣10x﹣3＝0，
a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，b2﹣4ac＝100+24＝124＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．