2021-2022学年 北师大版九年级数学上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习（word版含答案）

2.5
一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题
1．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为（　　）
A．3
B．7
C．﹣1
D．1
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＝0
B．k≥﹣
C．k≥﹣且k≠0
D．k＞﹣
3．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
4．设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣3
C．2
D．3
5．关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
6．如果a、b是关于x的方程（x+c）（x+d）＝1的两个根，那么（a+c）（b+c）等于（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．c2
7．若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣
B．m≤，且m≠0
C．m＜，且m≠0
D．m＞
8．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则x12+x22的值是（　　）
A．
B．
C．
D．7
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7＝0的两根，那么AB边上的中线长是（　　）
A．
B．
C．5
D．2
10．下列一元二次方程中，两根分别为﹣1+和﹣1﹣是（　　）
A．x2+2x+4＝0
B．x2+2x﹣4＝0
C．x2﹣2x+4＝0
D．x2﹣2x﹣4＝0
11．已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
二．填空题
12．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为
　
　．
13．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝　
　．
14．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为　
　．
15．已知关于x的一元二次方程ax2+（a2﹣1）x﹣a＝0的一个实数根为m，若2＜m＜3，则a的取值范围是　
　．
16．若方程3x2+bx+1＝0无解，则b应满足的条件是　
　．
三．解答题
17．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）在1，2，4三个数中，取一个合适的m值代入方程，并解这个方程．
19．是否存在非负整数k，使得关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　
　．
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a，b，c之间的关系为　
　．
（3）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
21．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若a＝，b＝1，直接写出△ABC的面积是　
　．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以为（　　）
A．3
B．7
C．﹣1
D．1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
∴k＜2且k≠1．
故选：C．
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＝0
B．k≥﹣
C．k≥﹣且k≠0
D．k＞﹣
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣1）2﹣4×k×（）＝1+3k≥0，
∴k≥，
∵k≠0，
∴k≥且k≠0，
故选：C．
3．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
【分析】先把方程化为一般式得到2x2﹣3x﹣3＝0，再计算Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，然后根据△的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣3
C．2
D．3
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2＝﹣可以直接求得x1+x2的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数是a＝1，一次项系数b＝﹣2，
∴由韦达定理，得
x1+x2＝2．
故选：C．
5．关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＞0，再解不等式得到k的范围，然后在此范围内找出k的最大整数值．
【解答】解：根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＞0，
解得k＜，
所以k的最大整数值为0．
故选：C．
6．如果a、b是关于x的方程（x+c）（x+d）＝1的两个根，那么（a+c）（b+c）等于（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．c2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：原方程化为x2+（c+d）x+（cd﹣1）＝0，
∴a+b＝﹣（c+d），ab＝cd﹣1，
∴原式＝ab+（a+b）c+c2＝cd﹣1﹣（c+d）c+c2＝﹣1，
故选：B．
7．若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣
B．m≤，且m≠0
C．m＜，且m≠0
D．m＞
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣12m＞0，
m＜，
∵m≠0，
∴m＜且m≠0，
故选：C．
8．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则x12+x22的值是（　　）
A．
B．
C．
D．7
【分析】欲求x12+x22的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：由题意知，
x1x2＝，x1+x2＝，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝﹣2×＝．
故选：A．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7＝0的两根，那么AB边上的中线长是（　　）
A．
B．
C．5
D．2
【分析】由于a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a+b＝7，ab＝c+7；由勾股定理可知：a2+b2＝c2，则（a+b）2﹣2ab＝c2，即49﹣2（c+7）＝c2，由此求出c，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长．
【解答】解：∵a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7＝0的两根，
∴根与系数的关系可知：a+b＝7，ab＝c+7；
由直角三角形的三边关系可知：a2+b2＝c2，
则（a+b）2﹣2ab＝c2，
即49﹣2（c+7）＝c2，
解得c＝5或﹣7（舍去），
再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为．
答案：AB边上的中线长是．
故选：B．
10．下列一元二次方程中，两根分别为﹣1+和﹣1﹣是（　　）
A．x2+2x+4＝0
B．x2+2x﹣4＝0
C．x2﹣2x+4＝0
D．x2﹣2x﹣4＝0
【分析】当一元二次方程的二次项系数是“1”时，由根与系数关系：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，故已知两根，可确定一元二次方程．
【解答】解：因为﹣1+﹣1﹣的和是﹣2，﹣1+﹣1﹣的积是﹣4．
所以以﹣1+﹣1﹣为两根的一元二次方程是x2+2x﹣4＝0．
故选：B．
11．已知y＝kx+k﹣1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等或不相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
【分析】本题首先由图像经过第一、三、四象限，
可知：k＞0，k﹣1＜0，再通过根的判别式来判断根的情况．
【解答】解：本题首先由图像经过第一、三、四象限，
可知：k＞0，k﹣1＜0，
∴0＜k＜1，
则（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣k），
＝1+4k2+4k，
＝（2k+1）2，
因为0＜k＜1，
所以（2k+1）2＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
二．填空题
12．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为
　24或25　．
【分析】分6为底边和6为腰两种情况分类讨论即可确定m的值．
【解答】解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
13．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2＝　1　．
【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝3．
则x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案是：1．
14．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为　10　．
【分析】先根据根与匇的关系得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，再运用通分和完全平方公式变形得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，
所以+＝＝＝＝10．
故答案为10．
15．已知关于x的一元二次方程ax2+（a2﹣1）x﹣a＝0的一个实数根为m，若2＜m＜3，则a的取值范围是　﹣3＜a＜﹣2或＜a＜　．
【分析】先利用因式分解法求得x1＝﹣a，x2＝，再根据方程的根m满足2＜m＜3，得出2＜﹣a＜3或2＜＜3，据此进一步求解可得．
【解答】解：∵ax2+（a2﹣1）x﹣a＝0，
∴（x+a）（ax﹣1）＝0，
则x+a＝0或ax﹣1＝0，
解得：x1＝﹣a，x2＝，
∵方程的一个实数根m满足2＜m＜3，
∴2＜﹣a＜3或2＜＜3，
解得：﹣3＜a＜﹣2或＜a＜，
故答案为：﹣3＜a＜﹣2或＜a＜．
16．若方程3x2+bx+1＝0无解，则b应满足的条件是　﹣2＜b＜2　．
【分析】方程没有实数根，则Δ＜0，建立关于b的不等式，求出b的取值范围．
【解答】解：由题意知，Δ＝b2﹣12＜0
∴b2＜12
故b应满足的条件是﹣2＜b＜2．
三．解答题
17．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2（m+1）、x1x2＝m2+2，结合（x1+1）（x2+1）＝8可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0总有两个实数根，
∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，
解得：m≥．
（2）∵x1、x2为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2．
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∴m2+2+2（m+1）+1＝8，
整理，得：m2+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0，
解得：m1＝﹣3（不合题意，舍去），m2＝1，
∴m的值为1．
18．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）在1，2，4三个数中，取一个合适的m值代入方程，并解这个方程．
【分析】（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，解不等式即可；
（2）由m的取值范围得到m＝1，代入（m﹣2）x2﹣2x+1＝0，利用公式法求得即可．
【解答】解：（1）根据题意，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，且m﹣2≠0，
∴m≤3，m≠2；
（2）∵m≤3且m≠2，
∴可取m＝1，
当m＝1时，原方程化为﹣x2﹣2x+1＝0，
∴x＝，
解得x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+．
19．是否存在非负整数k，使得关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，即可得判别式△≥0，即可求得k的取值范围，还要注意一元二次方程的二次项系数不能为0，又由k是非负整数，即可求得答案．
【解答】解：存在．
若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，
则需Δ＝（﹣4）2﹣4×k×3＝16﹣12k≥0，
解得：k≤，
∵k≠0，
∴k≤且k≠0，
∵k是非负整数，
∴k＝1，
∴当k＝1时，关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根．
20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　2　．
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a，b，c之间的关系为　2b2＝9ac　．
（3）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
【分析】（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．
（2）设x＝m与x＝2m是方程ax2+bx+c＝0的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案；
（3）根据定义可求出n＝4m或n＝m，代入原式后即可求出答案；
【解答】解：（1）由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣3x+c＝0的解，
∴m2﹣3m+c＝0，4m2﹣6m+c＝0，
∴m＝1，c＝2；
（2）设x＝m与x＝2m是方程ax2+bx+c＝0的解，
∴2m+m＝，2m2＝，
∴消去m得：2b2＝9ac，
（3）由（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，
且该方程的两根分别为x＝2和x＝，
∴＝4或＝1，
当n＝4m时，
原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0
当n＝m时，
原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0，
故答案为（1）2；（2）2b2＝9ac；
21．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长，若方程有两个相等的实数根．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若a＝，b＝1，直接写出△ABC的面积是　1　．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，可得出b2+c2＝a2，进而可得出△ABC是以a为斜边（或∠A＝900）的直角三角形；
（2）利用根的判别式，可求出c的值，再利用直角三角形的面积公式可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是以a为斜边（或∠A＝900）的直角三角形．
（2）∵a＝，b＝1，
∴c＝＝2，
∴S△ABC＝bc＝1．
故答案为：1．