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专题06
函数与方程
一、单选题
1．（江苏省南通密卷2021届高三模拟）函数在上的零点个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当时，由.
若，可得、、；
若，可得、、、.
综上所述，函数在上的零点个数为.故选C.
2．（江西省南昌市进贤县第一中学2021届高三第二次月考）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题可知：函数单调递增，若
一个零点在区间内，则需：，
即，解得，故选C.
3．（陕西省西安中学2021届高三下学期第二次仿真考试）函数和存在公共点，则的范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知，有解，，
因为在上连续且在上单调递增，有，则解的范围为，故选B.
4．（湖北省黄冈中学2021届高三下学期5月适应性考试）若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．（2，＋∞）
D．（0，2）
【答案】B
【解析】因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，
所以，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选B.
5．（安徽省皖江名校2021届高三5月最后一卷）已知函数，方程有两解，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以且，
当时，在时单调递增，所以；
又在时单调递增，且，
因为方程有两解，所以，所以；
当时，在时单调递减，；
又在时单调递增，，
因为方程要有两解，所以，此时不成立.
综上可得，故选B.
6．（陕西省汉中中学2021届高三下学期第十次模拟考试）关于函数，下列说法正确的是（
）
A．函数有2个零点
B．函数有4个零点
C．是函数的一个零点
D．是函数的一个零点
【答案】A
【解析】令，解得：或，所以函数有2个零点.故选A.
7．（吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】∵，则函数是周期的周期函数．
又∵函数是定义在上的偶函数，且时，，
∴当时，，
令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，
分别作出函数和的图象，如下图，
显然与在上有1个交点，在上有一个交点，
当时，，而，所以或时，与无交点．
综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2．故选A.
8．（广东省梅州市2021届高三下学期二模）设，，均为正数，且，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，，，可得，，，因此，，分别为函数与，，交点的横坐标，
在同一直角坐标系中作出函数，，，的大致图象如下：
由图象易知，.故选A.
9．（甘肃省靖远县2021届高三高考考前全真模拟）已知函数，若函数，则下列结论正确的是（
）
A．若没有零点，则
B．当时，恰有1个零点
C．当恰有2个零点时，的取值范围为
D．当恰有3个零点时，的取值范围为
【答案】D
【解析】作出的图象，如图所示：
令，即，
可得或，即或，
当时，和均无解，此时无零点，
当时，有且仅有一个根x=-1，无解，此时有一个零点，故A错误；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
，图象与无交点，即无解，此时有2个零点；
当时，图象与图象有3个交点，即有3个根，
，图象与无交点，即无解，此时有3个零点；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
图象与图象有1个交点，此时有3个零点；故B错误
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有3个交点，即有3个根，此时有4个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有1个交点，即有1个根，此时有2个零点，故C错误；
综上可得：当恰有3个零点时，的取值范围为，故D正确.故选D.
10．（陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模）若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（
）
A．14
B．13
C．12
D．11
【答案】C
【解析】因为，所以函数是周期为2函数，
因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间）
再作出函数的图象，容易得出到交点为12个．故选C．
11．（河南省新乡市2021届高三三模）已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当时，，故不是方程的根，
当时，由得，，
方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个不同的交点，
作出函数的大致图像如图所示，
由图可知，或.故选C.
12．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为是上的偶函数，所以，对，，所以函数是周期函数，且周期.，
依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.
在同一坐标系中分别作出与的图象，
由图可知，实数满足，解得，即实数的取值范围是.
故选B.
二、多选题
13．（湖南省长沙市麓山国际实验学校2020-2021学年高三上学期第一次月考）已知函数，若函数存在零点，则的取值可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】函数存在零点，有解，，，是的可能取值，故选CD.
14．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安中学、南京市外国语学校等三校2021届高三下学期高考考前模拟联考）已知函数(为正整数)，则下列判断正确的有（
）
A．对于任意的正整数，为奇函数
B．存在正整数，的图像关于轴对称
C．当为奇数时，有四个零点
D．当为偶数时，有两个零点
【答案】BD
【解析】当为偶数时，可得，此时函数为偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，所以A不正确，B正确；
当时，函数，令，即，解得，
此时函数仅有2个零点，所以C不正确；
令，可得，令，即，
即，可得，即，所以或，此时函数仅有2个零点，所以D正确.
故选BD.
15．（山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟）若函数f(x)＝恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（
）
A．1
B．2
C．15
D．16
【答案】AD
【解析】函数f(x)的零点即为方程f(x)＝0的解．
当m＝1时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣1＝0，解得：x＝0；
当x≥2时，2021（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x＝1或3，只取x＝3．
∴函数有两个零点0或3．∴A对；
当m＝2时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣2＝0，解得：x＝；
当x≥2时，2021（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x＝2或6．
∴函数有三个零点或2或6．∴B错；
当m＝15时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣15＝0，解得：x＝log415＜2；
当x≥2时，2021（x﹣15）（x﹣45）＝0，解得：x＝15或45．
∴函数有三个零点log415或15或45．∴C错；
当m＝16时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣16＝0，解得：x＝2不成立；
当x≥2时，2021（x﹣16）（x﹣48）＝0，解得：x＝16或48．
∴函数有两个零点16或48．∴D对；
故选AD．
16．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三下学期二模）关于函数，下列描述正确的有（
）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】函数的图像如图所示：
由图可得：函数在区间上单调递增，故正确；
函数的图像关于直线对称，故正确；
若，但，则当时，，故错误；
函数的图像与轴有且仅有两个交点，故正确.
故选.
17．（广东省高州市2021届高三二模）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】BCD
【解析】根据题意，作出的图像如下所示：
令，得，所以要使函数有且只有两个不同的零点，
所以只需函数的图像与直线有两个不同的交点，
根据图形可得实数的取值范围为，故选．
18．（辽宁省沈阳市2021届高三三模）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（
）
A．
B．
C．6
D．8
【答案】BC
【解析】函数是上的奇函数，，时，，
当时，可得或，当时，令，即，
若时，显然无解，
若时，，即时，在上有一个零点
当时，在上没有零点，
综上，由函数是奇函数知，时，函数有4个零点，
当时，函数有6个零点．故选BC．
19．（广东省汕头市2021届高三一模）已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值可以是（
）
A．3.8
B．3.9
C．4
D．4.1
【答案】AB
【解析】是奇函数，则，又，，
令得，即，所以是周期函数，周期为2，
又是上的奇函数，所以，，所以，，
作出和的图象，其中的周期是，
如图，由图可知时，从点，10个交点依次为，点是第11个交点，，
设点横坐标为，显然，，，因此，
所以，于是，，即，
所以可取，，时至少有11个零点，故选AB．
20．（河北衡水中学2021届高三三轮复习自主复习旗开得胜数学（三））是定义在区间上的奇函数，其图像如图所示．令，则下列关于函数的叙述正确的是（
）
A．若，则函数的图象关于原点对称
B．若，则方程有大于2的实根
C．若，则方程有两个实根
D．若，则方程有三个实根
【答案】BD
【解析】当时，关于原点对称，根据图像平移知关于点对称，A错误；
时，方程，，由的图像知，在上有一个交点，故B正确；
时，，若使方程由两个根，由图知，必有，其他的非零a值均不满足，故C错误；
时，，由图知有三个交点，故D正确；
故选BD.
三、填空题
21．（上海市普陀区2021届高三二模）函数的零点为___________．
【答案】
【解析】令，得，两边平方得：，解得，
所以函数的零点为1.故答案为：1.
22．（北京市怀柔区2021届高三一模）若函数的一个零点为，则常数的一个取值为___________.
【答案】
【解析】因为函数的一个零点为，
所以，即，
所以时，满足条件，是常数的一个取值.故答案为：
23．（福建省厦门市2021届高三5月二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【解析】时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为，故答案为：．
24．（宁夏中卫市2021届高三三模）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
【答案】
【解析】令，其在定义域上单调递增，
且，，，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．故答案为：．
25．（河南省正阳县高级中学2021届高三下学期第五次素质检测）已知函数，若有2个零点，则______．
【答案】
【解析】令，则，问题转化为函数与的图象有两个交点，易知函数与的图象在上有1个交点，由，得，由，解得（舍去）．故答案为：．
26．（上海市青浦区2021届高三二模）已知函数是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内零点的个数的最小值是____________．
【答案】
【解析】根据是定义在上的以为周期的奇函数，所以，故，
又，，所以，所以，
而，所以，所以，所以内零点有共个，
故答案为：.
27．（黑龙江省大庆市2021届高三第二次教学质量检测）定义在上的函数满足，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为___________.
【答案】7
【解析】由题意知：的周期为2，当时，，
∴、的图象如下：
即与共有7个交点，
故答案为：7.
28．（四川省绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试（二））已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】作出函数的图象如下图所示：
方程有四个不同的实根，等价于直线与函数的图象有四个交点，
不妨设，由图可知，只有当时，直线与函数的图象有四个交点.
当时，，
由图可知，，，所以，，即，
即，所以，，
当时，，表示对称轴为直线，开口向上的抛物线，
，，所以，，，且，则，
所以，，所以，，
因此，.故答案为：.
29．（四川省成都市2022届高三文科数学零诊考试）已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：
①函数在上单调递增；
②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；
③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；
④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.
其中所有正确结论的编号是___________.
【答案】①④
【解析】当时，，此时不满足方程；
若，则，即
若，则，即
作出函数在时的图像，如图所示，
对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确；
对于②，可知函数在时的图像与与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；
对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或
当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8；
（2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为4，故③错误；
对于④，函数在上的最大值为，即，由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前项和为，故④正确.
故答案为：①④
30．（江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020-2021学年高三上学期10月调研）设函数，若，则的最小值为______；若恰有2个零点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
或
【解析】当时，，
，，，
所以的最小值为.
设的零点为、，
若，，则，得
若，则，得，
综上:或.故答案为:
；或.
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专题06
函数与方程
一、单选题
1．（江苏省南通密卷2021届高三模拟）函数在上的零点个数为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（江西省南昌市进贤县第一中学2021届高三第二次月考）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（陕西省西安中学2021届高三下学期第二次仿真考试）函数和存在公共点，则的范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（湖北省黄冈中学2021届高三下学期5月适应性考试）若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．（2，＋∞）
D．（0，2）
5．（安徽省皖江名校2021届高三5月最后一卷）已知函数，方程有两解，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（陕西省汉中中学2021届高三下学期第十次模拟考试）关于函数，下列说法正确的是（
）
A．函数有2个零点
B．函数有4个零点
C．是函数的一个零点
D．是函数的一个零点
7．（吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．（广东省梅州市2021届高三下学期二模）设，，均为正数，且，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．（甘肃省靖远县2021届高三高考考前全真模拟）已知函数，若函数，则下列结论正确的是（
）
A．若没有零点，则
B．当时，恰有1个零点
C．当恰有2个零点时，的取值范围为
D．当恰有3个零点时，的取值范围为
10．（陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模）若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（
）
A．14
B．13
C．12
D．11
11．（河南省新乡市2021届高三三模）已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
13．（湖南省长沙市麓山国际实验学校2020-2021学年高三上学期第一次月考）已知函数，若函数存在零点，则的取值可能为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安中学、南京市外国语学校等三校2021届高三下学期高考考前模拟联考）已知函数(为正整数)，则下列判断正确的有（
）
A．对于任意的正整数，为奇函数
B．存在正整数，的图像关于轴对称
C．当为奇数时，有四个零点
D．当为偶数时，有两个零点
15．（山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟）若函数f(x)＝恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（
）
A．1
B．2
C．15
D．16
16．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三下学期二模）关于函数，下列描述正确的有（
）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
17．（广东省高州市2021届高三二模）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
18．（辽宁省沈阳市2021届高三三模）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（
）
A．
B．
C．6
D．8
19．（广东省汕头市2021届高三一模）已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值可以是（
）
A．3.8
B．3.9
C．4
D．4.1
20．（河北衡水中学2021届高三三轮复习自主复习旗开得胜数学（三））是定义在区间上的奇函数，其图像如图所示．令，则下列关于函数的叙述正确的是（
）
A．若，则函数的图象关于原点对称
B．若，则方程有大于2的实根
C．若，则方程有两个实根
D．若，则方程有三个实根
三、填空题
21．（上海市普陀区2021届高三二模）函数的零点为___________．
22．（北京市怀柔区2021届高三一模）若函数的一个零点为，则常数的一个取值为___________.
23．（福建省厦门市2021届高三5月二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
24．（宁夏中卫市2021届高三三模）已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
25．（河南省正阳县高级中学2021届高三下学期第五次素质检测）已知函数，若有2个零点，则______．
26．（上海市青浦区2021届高三二模）已知函数是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内零点的个数的最小值是____________．
27．（黑龙江省大庆市2021届高三第二次教学质量检测）定义在上的函数满足，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为___________.
28．（四川省绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试（二））已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则的取值范围是__________.
29．（四川省成都市2022届高三文科数学零诊考试）已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：
①函数在上单调递增；
②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；
③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；
④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.
其中所有正确结论的编号是___________.
30．（江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020-2021学年高三上学期10月调研）设函数，若，则的最小值为______；若恰有2个零点，则实数a的取值范围是__________．
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