13.3.2等边三角形 同步练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版 含答案）

13.3.2等边三角形
同步练习题
2021-2022学年人教版八年级数学上册
一、选择题
1．下面关于等边三角形的说法不正确的是(
)
A．等边三角形的三条边都相等
B．等边三角形的三个内角都相等且都等于60°
C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D．等腰三角形具有等边三角形的性质
2．下列说法中，正确的有(
)
①三个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．如图，在五边形ABCDE中，△ACD为等腰三角形．若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE的度数为(
)
A．115°
B．120°
C．125°
D．130°
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝(
)
A．8
B．6
C．4
D．2
5．一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(
)
A．10米
B．15米
C．25米
D．30米
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，以下说法错误的是(
)
A．AC＝2CD
B．AD＝2CD
C．AD＝3BD
D．AB＝2BC
7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心，大于CA的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EC的数量关系是(
)
A．BE＝3EC
B．5BE＝3EC
C．3BE＝2EC
D．BE＝2EC
二、填空题
9．如图，直线a，b过等边△ABC的顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为______．
10．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝______．
11．如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝______．
12．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝______.
13．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝______米．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D.若CD＝1，则BD＝2．
15．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若AB＝8
cm，则BD＝______4cm，∠BDE＝______°，BE＝______cm.
16．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18
cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是______cm.
17．如图，在等边△ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点F，则∠BFC＝______．
18．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠．若EF的长度为a，则△DEF的周长为______(用含a的式子表示)．
三、解答题
19．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE，求∠BDE的度数．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若∠A＝30°，CD＝2.
(1)求∠BDC的度数；
(2)求BD的长．
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC.求证：△CEB为等边三角形．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
24．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.
(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？
(2)在小岛P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．
25．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判断△ODE的形状，并说明你的理由；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
26．如图1，在等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明你的理由；
(2)求证：AE∥BC；
(3)如图2，动点D运动到边BA的延长线上，△EDC仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案
13.3.2等边三角形
同步练习题
2021-2022学年人教版八年级数学上册
一、选择题
1．下面关于等边三角形的说法不正确的是(D)
A．等边三角形的三条边都相等
B．等边三角形的三个内角都相等且都等于60°
C．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
D．等腰三角形具有等边三角形的性质
2．下列说法中，正确的有(D)
①三个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．如图，在五边形ABCDE中，△ACD为等腰三角形．若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE的度数为(C)
A．115°
B．120°
C．125°
D．130°
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝(C)
A．8
B．6
C．4
D．2
5．一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(B)
A．10米
B．15米
C．25米
D．30米
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，以下说法错误的是(B)
A．AC＝2CD
B．AD＝2CD
C．AD＝3BD
D．AB＝2BC
7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)
A．3
B．4
C．5
D．6
8．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心，大于CA的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EC的数量关系是(D)
A．BE＝3EC
B．5BE＝3EC
C．3BE＝2EC
D．BE＝2EC
二、填空题
9．如图，直线a，b过等边△ABC的顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为102°．
10．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝3．
11．如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝30°．
12．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°.
13．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝48米．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D.若CD＝1，则BD＝2．
15．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若AB＝8
cm，则BD＝4cm，∠BDE＝30°，BE＝2cm.
16．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18
cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是18cm.
17．如图，在等边△ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点F，则∠BFC＝120°．
18．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠．若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a(用含a的式子表示)．
三、解答题
19．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE，求∠BDE的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ACB＝60°，BD⊥AC.
∴∠BDC＝90°.
∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝∠ACB＝30°.
∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝90°＋30°＝120°.
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若∠A＝30°，CD＝2.
(1)求∠BDC的度数；
(2)求BD的长．
解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB.
∴∠DBE＝∠A＝30°.
∴∠BDC＝60°.
(2)在Rt△BDC中，∵∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°.
∴BD＝2CD＝4.
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC.求证：△CEB为等边三角形．
证明：∵CE⊥AB，且DE＝DC，
∴BC＝BE.
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB，
∴∠ECB＝∠ACB＝60°.
又∵BC＝BE，
∴△CEB为等边三角形．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA＝∠DFC＝90°.
∵D为AC的中点，
∴DA＝DC，
又∵DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．
∴∠A＝∠C.
∴∠A＝∠B＝∠C.
∴△ABC是等边三角形．
23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2.
又∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
24．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.
(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？
(2)在小岛P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．
解：(1)∵∠PAB＝90°－75°＝15°，
∴∠APB＝180°－15°－90°－60°＝15°.
∴∠PAB＝∠APB.∴BP＝AB＝7海里．
(2)过点P作PD⊥AB于点D.
∵∠PBD＝90°－60°＝30°，∠PDB＝90°，
∴PD＝PB＝3.5海里．
∵3.5>3，
∴该轮船继续向东航行，没有触礁的危险．
25．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)试判断△ODE的形状，并说明你的理由；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
解：(1)△ODE是等边三角形．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
(2)BD＝DE＝EC.
理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°.
∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.
∴∠OBD＝∠BOD.∴BD＝OD.
同理，EC＝OE.
∵△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.
∴BD＝DE＝EC.
26．如图1，在等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明你的理由；
(2)求证：AE∥BC；
(3)如图2，动点D运动到边BA的延长线上，△EDC仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
解：(1)△DBC和△EAC全等．
理由：∵△ABC，△EDC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，BC＝AC，DC＝EC.
∴∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，
∴△DBC≌△EAC(SAS)．
(2)证明：∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.
又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB.
∴AE∥BC.
(3)仍有AE∥BC.
证明：∵△ABC，△EDC为等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°.
∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，
∴△DBC≌△EAC(SAS)．
∴∠EAC＝∠B＝60°.
又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB.
∴AE∥BC.