1.3 勾股定理的应用 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.3
勾股定理的应用
第一章
勾股定理
学习目标
1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．（重点）
2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.
(重点,难点)
新课导入
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A
B
路线，而不选择A
C
B路线，难道小狗也懂数学？
C
B
A
AC+CB>AB（两点之间线段最短）
思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
B
A
探究1：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
讲授新课
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想：
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
若已知圆柱体高为12
cm，底面半径为3
cm，π取3，则:
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
A'
A'
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
例1
如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12
cm，底面周长为18
cm，在杯内壁离杯底4
cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4
cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到蜂蜜的最短路线长为________．
15
cm
典例精析
导引：
紧扣圆柱上最短路线的确定方法，确定路线，再
利用勾股定理求路线的长.
作CD⊥
FA
于D，
作A
关于EF
的对称点A′，
连接A′
C，与EF
交于B，连接AB，则A
→
B
→
C
为最短路线.
由题意知DC=9
cm，FD=8
cm，FA′=4
cm，
在Rt
△
A′DC
中，A′C2=A′D2+DC2
=（FA′+FD）2+DC2=（4+
8）2+92
=225=152，故A′C=15
cm.
因为AB+BC=A′B+BC=A′C，
所以最短路线的长为15
cm.
解:
如图，
讲授新课
探究2：确定长方体上的最短路线:
求长方体（如图1）上A，B
两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式（如图2）.
图1
图2
（1）右侧面向前展开，
如图2
①，
此时AB2=（a+b）2+
c2=a2+b2+c2+2ab.
（2）
上底面向前展开，
如图2
②，此时AB2=（c+b）2+
a2=a2+b2+c2+2bc.
（3）
上底面向左展开，
如图2
③，此时AB2=（a+c）2+
b2=a2+b2+c2+2ac.
通过对三种展开方式的分析，我们得到：
①当c
最大时，图2
①中AB
最短；
②当a
最大时，图2
②中AB
最短；
③当b
最大时，图2
③中AB
最短.
例2
如图，长方体的高为3
cm，底面是正方形，其边长为2
cm.现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为(　　)
A．4
cm　　
B．5
cm
C．6
cm
D．7
cm
B
典例精析
解：
考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情况，
分类讨论求解．连接AC.
(2＋2)2＋32＝25；如图②，AC2＝22＋(3＋
2)2＝29.
因为29＞25，所以蚂蚁爬行的最短路线的长为5
cm.
如图①，
AC
2＝
问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
（2）量得AD长是30
cm，AB长是40
cm，BD长是50
cm.
AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
（3）若随身只有一个长度为20
cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.
例3（教材P13例）
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
故滑道AC的长度为5
m.
解：设滑道AC的长度为x
m，则AB的长也为x
m，AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
解得x=5.
典例精析
数学思想：
实际问题
数学问题
转化
建模
例4
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
2m
1m
A
B
D
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.
典例精析
A
B
D
C
O
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
∴OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
例5
如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
典例精析
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
归纳总结
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
解决
构建
转化
利用
1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8
cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（
）
A.4
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.10
cm
B
当堂练习
2．有一个高为1.5
m，半径是1
m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5
m，问这根铁棒有多长？
解:设伸入油桶中的长度为x
m,则最长时:
最短时,
x=1.5
所以最长是2.5+0.5=3(m).
答:这根铁棒的长应在2～3
m之间.
所以最短是1.5+0.5=2(m).
解得：x=2.5
梯子的顶端沿墙下滑4
m,梯子底端外移8
m.
解：在Rt△AOB中，
在Rt△COD中，
3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底
端B也外移4m吗?
4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解：设水池的水深AC为x尺，
则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即
52+
x2=
(x+1)2
25+
x2=
x2+2x+1，
2
x=24，
∴
x=12，
x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
课堂小结
勾股定理的应用
立体图形中两点之间的最短距离
勾股定理的实际应用
谢谢
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