(共29张PPT)
1.3
勾股定理的应用
第一章
勾股定理
学习目标
1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离.(重点)
2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.
(重点,难点)
新课导入
在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠,它选择A
B
路线,而不选择A
C
B路线,难道小狗也懂数学?
C
B
A
AC+CB>AB(两点之间线段最短)
思考:在立体图形中,怎么寻找最短线路呢?
B
A
探究1:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近?
讲授新课
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想:
蚂蚁走哪一条路线最近?
A'
蚂蚁A→B的路线
若已知圆柱体高为12
cm,底面半径为3
cm,π取3,则:
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线.
A'
A'
数学思想:
立体图形
平面图形
转化
展开
例1
如图,有一个圆柱状的玻璃杯,高为12
cm,底面周长为18
cm,在杯内壁离杯底4
cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4
cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到蜂蜜的最短路线长为________.
15
cm
典例精析
导引:
紧扣圆柱上最短路线的确定方法,确定路线,再
利用勾股定理求路线的长.
作CD⊥
FA
于D,
作A
关于EF
的对称点A′,
连接A′
C,与EF
交于B,连接AB,则A
→
B
→
C
为最短路线.
由题意知DC=9
cm,FD=8
cm,FA′=4
cm,
在Rt
△
A′DC
中,A′C2=A′D2+DC2
=(FA′+FD)2+DC2=(4+
8)2+92
=225=152,故A′C=15
cm.
因为AB+BC=A′B+BC=A′C,
所以最短路线的长为15
cm.
解:
如图,
讲授新课
探究2:确定长方体上的最短路线:
求长方体(如图1)上A,B
两点之间的距离,将长方体相邻两个面展开有三种方式(如图2).
图1
图2
(1)右侧面向前展开,
如图2
①,
此时AB2=(a+b)2+
c2=a2+b2+c2+2ab.
(2)
上底面向前展开,
如图2
②,此时AB2=(c+b)2+
a2=a2+b2+c2+2bc.
(3)
上底面向左展开,
如图2
③,此时AB2=(a+c)2+
b2=a2+b2+c2+2ac.
通过对三种展开方式的分析,我们得到:
①当c
最大时,图2
①中AB
最短;
②当a
最大时,图2
②中AB
最短;
③当b
最大时,图2
③中AB
最短.
例2
如图,长方体的高为3
cm,底面是正方形,其边长为2
cm.现有一只蚂蚁从A处出发,沿长方体表面到达C处,则蚂蚁爬行的最短路线的长为( )
A.4
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.7
cm
B
典例精析
解:
考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情况,
分类讨论求解.连接AC.
(2+2)2+32=25;如图②,AC2=22+(3+
2)2=29.
因为29>25,所以蚂蚁爬行的最短路线的长为5
cm.
如图①,
AC
2=
问题:李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗?
解:连接对角线AC,只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
(2)量得AD长是30
cm,AB长是40
cm,BD长是50
cm.
AD边垂直于AB边吗?
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2,
得∠DAB=90°,AD边垂直于AB边.
(3)若随身只有一个长度为20
cm的刻度尺,能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?
解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15,是,就是垂直;不是,就是不垂直.
例3(教材P13例)
如图是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,试求滑道AC的长.
故滑道AC的长度为5
m.
解:设滑道AC的长度为x
m,则AB的长也为x
m,AE的长度为(x-1)m.
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,
由勾股定理得AE2+CE2=AC2,
即(x-1)2+32=x2,
解得x=5.
典例精析
数学思想:
实际问题
数学问题
转化
建模
例4
一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
2m
1m
A
B
D
C
解:在Rt△ABC中,根据勾股定理,
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
分析:可以看出木板横着,竖着都不能通过,只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度,只要AC的长大于木板的宽就能通过.
典例精析
A
B
D
C
O
解:在Rt△ABC中,根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,
∴OB=1.
在Rt△COD中,根据勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时,梯子底端并不是也外移0.5m,而是外移约0.77m.
例5
如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4m.
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
典例精析
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
(1)读懂题意,分析已知、未知间的关系;
(2)构造直角三角形;
(3)利用勾股定理等列方程;
(4)解决实际问题.
归纳总结
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
解决
构建
转化
利用
1.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6
cm,BC=8
cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为(
)
A.4
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.10
cm
B
当堂练习
2.有一个高为1.5
m,半径是1
m的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5
m,问这根铁棒有多长?
解:设伸入油桶中的长度为x
m,则最长时:
最短时,
x=1.5
所以最长是2.5+0.5=3(m).
答:这根铁棒的长应在2~3
m之间.
所以最短是1.5+0.5=2(m).
解得:x=2.5
梯子的顶端沿墙下滑4
m,梯子底端外移8
m.
解:在Rt△AOB中,
在Rt△COD中,
3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底
端B也外移4m吗?
4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
D
A
B
C
解:设水池的水深AC为x尺,
则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺,
在直角三角形ABC中,BC=5尺
由勾股定理得,BC2+AC2=AB2
即
52+
x2=
(x+1)2
25+
x2=
x2+2x+1,
2
x=24,
∴
x=12,
x+1=13.
答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺.
课堂小结
勾股定理的应用
立体图形中两点之间的最短距离
勾股定理的实际应用
谢谢
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