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专题07
函数模型及其应用
一、单选题
1．（福建省福建师范大学附属中学2021届高三模拟）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（
）
A．
B．
C．
D．
2．（山东省聊城市2021届高三三模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（
）
A．104倍
B．105倍
C．106倍
D．107倍
3．（四川省泸州市泸县第五中学2021届高三数学一诊）某品牌牛奶的保质期（单位：天）与储存温度（单位：）满足函数关系.该品牌牛奶在的保质期为270天，在的保质期为180天，则该品牌牛奶在的保质期是（
）
A．60天
B．70天
C．80天
D．90天
4．（黑龙江省哈尔滨一中2021届高三三模）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（
）(参考数据：)
A．60
B．62
C．66
D．63
5．（黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三下学期三模）近些年，我国在治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美丽中国！某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的4%时，至少需要经过该装置的次数为（
）（参考数据：lg2≈0.301）
A．12
B．13
C．14
D．15
6．（四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测考试）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（
）
A．135
B．149
C．165
D．195
7．（江苏省泰州中学2021届高三下学期四模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某硏究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（
）
A．
B．
C．
D．
8．（四川省眉山市仁寿一中南校区2021届高三二模）候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现．该种鸟类的飞行速度（单位：）与其耗氧最之间的关系为（其中是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于．其耗氧量至少需要（
）个单位．
A．70
B．60
C．80
D．75
9．（四川省天府名校2021届高三5月诊断性考试）一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg，才有疗效；而低于500mg，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时的比例衰减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（福建省福州市2021届高三二模）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据如下表：
40
60
90
100
120
5.2
6
8.325
10
15.6
为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，（单位：）.为使百公里耗油量（单位：）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（
）
A．在外侧车道以行驶
B．在中间车道以行驶
C．在中间车道以行驶
D．在内侧车道以行驶
11．（山东省2021届高三5月联考试题）某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与(表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（
）
A．74
B．76
C．78
D．80
12．（福建省漳州市2021届高三三模）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾?生津止渴?消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间(单位：小时)与失去的新鲜度满足函数关系，其中，为常数.已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据：)（
）
A．20小时
B．25小时
C．28小时
D．35小时
13．（宁夏吴忠市2021届高三4月第二次联考）复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文名称，是由中国铁路总公司牵头组织研制?具有完全自主知识产权?达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强(单位：)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级(单位：)与声强的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的（
）
A．
B．
C．
D．
14．（贵州省贵阳市2021届高三二模）科学家曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.若物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间后物体的温度将满足，其中k为正的常数.在这个函数模型中，下列说法正确的是(注：)（
）
A．设，室温，某物体的温度从下降到大约需要
B．设，室温，某物体的温度从下降到大约需要
C．某物体的温度从下降到所需时间比从下降到所需时间长
D．某物体的温度从下降到所需时间和从下降到所需时间相同
15．（四川省眉山市2021届高三三模）年月日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——个三星堆文化“祭祀坑”现已出土余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳测年法推算，碳测年法是根据碳的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳年代测定，检测出碳的残留量约为初始量的，已知碳的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（
）
（参考数据：，）
A．公元前年到公元前年
B．公元前年到公元前年
C．公元前年到公元前年
D．公元前年到公元前年
16．（河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试）中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（
）
A．
B．
C．
D．
17．（河北省张家口市、沧州市2021届高三下学期二模）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港?澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港?澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年末(不包括香港?澳门和台湾地区)的全国总人口数约为（
）(，)
A．14.30亿
B．15.20亿
C．14.62亿
D．15.72亿
18．（湖北省2021届高三5月联考）生物体的生长都经过发生?发展?成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢?在发展阶段速度加快?在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德?皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为.一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为，x表示果树生长的年数，表示生长第x年果树的高度，若刚栽种时该果树高为1，经过一年，该果树高为2.5，则（
）
A．2.5
B．2
C．1.5
D．1
19．（湖南省益阳市2021届高三下学期4月模拟）我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如表：
小数记录
0.1
0.12
0.15
0.2
…
？
…
1.0
1.2
1.5
2.0
五分记录
4.0
4.1
4.2
4.3
…
4.7
…
5.0
5.1
5.2
5.3
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（
）(附：)
A．0.3
B．0.5
C．0.7
D．0.8
20．（安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量检测）自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额?税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额应纳税所得额税率速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额综合所得收入额基本减除费用专项扣除专项附加扣除依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率(%)
速算扣除数
1
3
0
2
10
2520
3
20
16920
4
25
31920
5
30
52920
若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（
）
A．5712元
B．8232元
C．11712元
D．33000元
21．（内蒙古赤峰二中2021届高三第三次统一模拟考试）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声调（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若同学大喝一声的声强大约相当于100个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（
）米.
A．
B．7
C．50
D．60
二、多选题
22．（福建省厦门市2021届高三下学期第一次质量检测）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（
）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
三、填空题
23．（江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2021届高三下学期5月适应性联考）据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：)
24．（山东省滨州市2021届高三二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法?合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.
25．（山东枣庄2021届高三二模）2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.
（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；
（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省______元.
26．（广东省深圳市2021届高三一模）冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为_________.
27．（北京市西城区2021届高三一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．
28．（湖南省名校联考联合体2021届高三下学期联考）2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图"见图.
车辆驾驶人员血液洒精含量阈值
驾驶行为类别
阈值
饮酒驾车
醉酒驾车
且如图所示的函数模型为.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则n的值为___________.(参考数据：)
四、解答题
29．（上海市青浦区2021届高三三模）某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度(单位：摄氏度)与时间(单位：小时)近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量.
（1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到)；
（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.
30．（上海市黄浦区2021届高三下学期二模）某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元.
（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)
（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围.
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专题07
函数模型及其应用
一、单选题
1．（福建省福建师范大学附属中学2021届高三模拟）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为，
令，解得.故选B.
2．（山东省聊城市2021届高三三模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（
）
A．104倍
B．105倍
C．106倍
D．107倍
【答案】C
【解析】设一般正常人听觉能忍受的最高声强为，平时常人交谈时声强为，
由题意得，解得，∴，故选C.
3．（四川省泸州市泸县第五中学2021届高三数学一诊）某品牌牛奶的保质期（单位：天）与储存温度（单位：）满足函数关系.该品牌牛奶在的保质期为270天，在的保质期为180天，则该品牌牛奶在的保质期是（
）
A．60天
B．70天
C．80天
D．90天
【答案】C
【解析】由题意可知，，，可得，
所以，故该品牌牛奶在的保质期是80天.故选C.
4．（黑龙江省哈尔滨一中2021届高三三模）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（
）(参考数据：)
A．60
B．62
C．66
D．63
【答案】D
【解析】，所以，所以，解得.故选D.
5．（黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三下学期三模）近些年，我国在治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美丽中国！某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的4%时，至少需要经过该装置的次数为（
）（参考数据：lg2≈0.301）
A．12
B．13
C．14
D．15
【答案】D
【解析】设废水中最原始的该重金属含量为a，则经过x次该装置过滤后，该重金属含量为，
由题意知a×＜0.04a，所以，两边取对数，得x≈14.4，
所以x取最小整数为15．故选D．
6．（四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测考试）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（
）
A．135
B．149
C．165
D．195
【答案】B
【解析】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.
7．（江苏省泰州中学2021届高三下学期四模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某硏究人员每隔测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且.故选B.
8．（四川省眉山市仁寿一中南校区2021届高三二模）候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现．该种鸟类的飞行速度（单位：）与其耗氧最之间的关系为（其中是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于．其耗氧量至少需要（
）个单位．
A．70
B．60
C．80
D．75
【答案】C
【解析】由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为，此时耗氧量为20个单位，
故有，即．，要使飞行速度不低于，则有，
即，也就是，解得，即飞行的速度不低于，则其耗氧量至少要80个单位．
故选C．
9．（四川省天府名校2021届高三5月诊断性考试）一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg，才有疗效；而低于500mg，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时的比例衰减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设小时保有量为
mg，则，由，，，所以．故选A．
10．（福建省福州市2021届高三二模）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据如下表：
40
60
90
100
120
5.2
6
8.325
10
15.6
为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，（单位：）.为使百公里耗油量（单位：）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（
）
A．在外侧车道以行驶
B．在中间车道以行驶
C．在中间车道以行驶
D．在内侧车道以行驶
【答案】A
【解析】由题意，符合的函数模型需要满足在，都可取，且由表可知，随的增大而增大，则该函数模型应为增函数，不符合，
若选择，则，，，与实际数据相差较大，所以不符合，
若选择，则，，，，，最符合实际，
，当时，取得最小值为.故选A.
11．（山东省2021届高三5月联考试题）某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与(表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（
）
A．74
B．76
C．78
D．80
【答案】C
【解析】由题可设，当时，代入可得，解得，
所以，令，则，故选C.
12．（福建省漳州市2021届高三三模）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾?生津止渴?消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间(单位：小时)与失去的新鲜度满足函数关系，其中，为常数.已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据：)（
）
A．20小时
B．25小时
C．28小时
D．35小时
【答案】C
【解析】当时，，由题意可得，解得，
为使新鲜度不低于，即不能失去超过的新鲜度，则有，即，
因此，即，则，
即物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过28小时.故选C.
13．（宁夏吴忠市2021届高三4月第二次联考）复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文名称，是由中国铁路总公司牵头组织研制?具有完全自主知识产权?达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强(单位：)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级(单位：)与声强的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知得，解得，故.设某列车原来的声强级为，声强为，该列车的声强级降低后的声强级为，声强为，则，所以，解得.
故选C.
14．（贵州省贵阳市2021届高三二模）科学家曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.若物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间后物体的温度将满足，其中k为正的常数.在这个函数模型中，下列说法正确的是(注：)（
）
A．设，室温，某物体的温度从下降到大约需要
B．设，室温，某物体的温度从下降到大约需要
C．某物体的温度从下降到所需时间比从下降到所需时间长
D．某物体的温度从下降到所需时间和从下降到所需时间相同
【答案】A
【解析】由得，当，室温时，某物体的温度从下降到所需要的时间min，故A正确，B不正确；
设某物体的温度从下降到所需时间为，从下降到所需时间所需要的时间为，
则，
由且得，即，
所以，所以，又，所以，即.
所以物体的温度从下降到所需时间比从下降到所需时间短，故C
D不正确.
故选A.
15．（四川省眉山市2021届高三三模）年月日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——个三星堆文化“祭祀坑”现已出土余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳测年法推算，碳测年法是根据碳的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳年代测定，检测出碳的残留量约为初始量的，已知碳的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（
）
（参考数据：，）
A．公元前年到公元前年
B．公元前年到公元前年
C．公元前年到公元前年
D．公元前年到公元前年
【答案】C
【解析】设样本中碳初始值为，衰减率为，经过年后，残留量为，则，
碳的半衰期是年，，，；
由得：，
年之前的年大致是公元前年，即大致年代为公元前年到公元前年之间.故选C.
16．（河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试）中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得，所以当时，有最大值，
所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为．故选A.
17．（河北省张家口市、沧州市2021届高三下学期二模）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港?澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港?澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年末(不包括香港?澳门和台湾地区)的全国总人口数约为（
）(，)
A．14.30亿
B．15.20亿
C．14.62亿
D．15.72亿
【答案】A
【解析】由马尔萨斯模型，得，即，
所以我国2020年末的全国总人口数(亿).故选A.
18．（湖北省2021届高三5月联考）生物体的生长都经过发生?发展?成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢?在发展阶段速度加快?在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德?皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为.一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为，x表示果树生长的年数，表示生长第x年果树的高度，若刚栽种时该果树高为1，经过一年，该果树高为2.5，则（
）
A．2.5
B．2
C．1.5
D．1
【答案】C
【解析】根据已知，，得，解得，，
所以，从而，，所以.故选C.
19．（湖南省益阳市2021届高三下学期4月模拟）我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如表：
小数记录
0.1
0.12
0.15
0.2
…
？
…
1.0
1.2
1.5
2.0
五分记录
4.0
4.1
4.2
4.3
…
4.7
…
5.0
5.1
5.2
5.3
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（
）(附：)
A．0.3
B．0.5
C．0.7
D．0.8
【答案】B
【解析】由数据可知，当时，，两个都符合，但当时，由，得，与表中的数据符合，而，与表中的数据不符合，
所以选择模型更合适，此时令，则，所以.故选B.
20．（安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量检测）自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额?税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额应纳税所得额税率速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额综合所得收入额基本减除费用专项扣除专项附加扣除依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率(%)
速算扣除数
1
3
0
2
10
2520
3
20
16920
4
25
31920
5
30
52920
若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（
）
A．5712元
B．8232元
C．11712元
D．33000元
【答案】A
【解析】由题意可知，应纳税所得额为：元，
又，所以税率为，所以个人所得税税额为：元，故选A.
21．（内蒙古赤峰二中2021届高三第三次统一模拟考试）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声调（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若同学大喝一声的声强大约相当于100个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（
）米.
A．
B．7
C．50
D．60
【答案】D
【解析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，则同学的声强为，喷出泉水高度为70，
，，相减得.故选D.
二、多选题
22．（福建省厦门市2021届高三下学期第一次质量检测）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（
）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
【答案】AD
【解析】由函数图象可知，当时，，即，解得，
，故正确，
药物刚好起效的时间，当，即，药物刚好失效的时间，解得，
故药物有效时长为小时，药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，
故选．
三、填空题
23．（江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学2021届高三下学期5月适应性联考）据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：)
【答案】60
【解析】设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为，
，故答案为：.
24．（山东省滨州市2021届高三二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法?合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.
【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)
【解析】由题意函数是上的增函数，设，，
由，解得，所以，所以
故答案为：注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．
25．（山东枣庄2021届高三二模）2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.
（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；
（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省______元.
【答案】700
【解析】因为且，所以实际付款元对应的原价为元，
又因为，所以实际付款元对应的原价大于元，
设实际付款元对应的原价为元，
所以，解得，
所以两次付款的原价之和为：元，
若按方案二付款，则实际付款为：元，
所以节省的钱为：元，故答案为：.
26．（广东省深圳市2021届高三一模）冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为_________.
【答案】6
【解析】令由题意知，，
所以
得，
则
所以，解得，所以m的最小值为6，故答案为：6
27．（北京市西城区2021届高三一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．
【答案】②④
【解析】①，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意；
②为增函数，且，，则，符合题意；
③，当时，不合题意；
④，当时，，故该函数在上单调递增，又，设，，
即，易知在上为减函数，令，则存在，有，当，；当，；故在递增，在递减.
，，故上，即上，故④符合题意.
故答案为：②④.
28．（湖南省名校联考联合体2021届高三下学期联考）2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图"见图.
车辆驾驶人员血液洒精含量阈值
驾驶行为类别
阈值
饮酒驾车
醉酒驾车
且如图所示的函数模型为.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则n的值为___________.(参考数据：)
【答案】6
【解析】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，
所以有，解得，解得.
因为，所以n的最小值为6.故答案为：6.
四、解答题
29．（上海市青浦区2021届高三三模）某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度(单位：摄氏度)与时间(单位：小时)近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量.
（1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到)；
（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.
【解析】（1）由题设知：，又均单调递减，
∴在上单调递减，故当时，，
∴大棚一天中保温时段的最低温度.
（2）由题意，且，
∴当时，由（1）知递减，故只要即可，则，
当时，，
当且仅当时等号成立，故只要即可，则，
若有，此时成立.
∴综上，在上，要保持一天中保温时段的最低温度不小于，
大棚一天中保温时段通风量的最小值为
30．（上海市黄浦区2021届高三下学期二模）某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元.
（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)
（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围.
【解析】（1）答案不唯一.
构造出一个函数；
说明是单调增函数；
函数的取值满足要求.
如，，就是符合企业奖励的一个函数模型.
理由：
根据一次函数的性质，易知，随增大而增大，即为增函数；
当时，，
当时，，即奖金金额且不超过20万元.
故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.
（2）当时，易知是增函数，且当时，，当时，，即满足奖金且不超过20万的要求；
故当时，符合企业奖励要求.
当时，函数是增函数，即对任意，且时，成立.故当且仅当，即时，此时函数在上是增函数.
由，得；进一步可知，，故成立，即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求.
依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，
于是，有，解得.
综上，所求实数的取值范围是.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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