江苏省苏州市高中2021-2022学年高二上学期期初考试数学试题 （Word版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省苏州市高中2021-2022学年高二上学期期初考试数学试题 （Word版含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 950.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-02 23:05:22 | ||
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文档简介
江苏省苏州高中2021-2022学年度第一学期期初考试
高二数学
2021.8.30
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知为虚数单位，，，复数的共轭复数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知圆锥的表面积为，且侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（
）
A．
B．
C．
D．
4．设函数，，则是（
）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
5．设，，成立的充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若，是方程的两根，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰有一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．若，是正常数，，，，则当且仅当时取等号．利用以上结论函数，取得最小值时的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，
9．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法正确的是（
）
A．成绩在分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
10．下列条件能够判定是钝角三角形的是（
）
A．，，
B．
C．
D．
11．在同一平面内，设是给定的非零向量，，，两两不共线，则关于的分解说法正确的是（
）
A．给定向量，总存在向量，使得
B．给定向量和，总存在实数和，使得
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使得
D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使得
12．在中，，，，点，分别为边，上的两点（不与端点重合），且，将沿折起，使平面平面，则下列说法正确的是（
）
A．平面
B．若为的中点，三棱锥的体积等于三棱锥的体积
C．若为的中点，三棱锥的体积为
D．上存在两个不同的点，，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，且，则______
14．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为（其中为常数，表示时间，单位：小时，表示病毒个数），则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个
15．若函数的图象只有一条对称轴落在区间上，则实数的取值范围是______
16．已知非零向量，的夹角为，，对任意，有，则______，从而的最小值是______
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
如图，在四边形中，，，．
（1）求的长；
（2）若的面积为6，求的值．
18．（本小题满分10分）
已知复数，，．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）
2019年某饮料公司计划从，两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图．
从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在的受访者中有20%会购买，评分在的受访者中有60%会购买，评分在的受访者中有90%会购买．
（1）在受访的100万人中，估计至少对一款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值与最小值（单位：万人）；
（2）如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由．
20．（本小题满分12分）
如图，在中，已知，，点为的中点，点，在边，上，且，，交于点．
（1）若，求与所成角的余弦值；
（2）若，求的值．
21．（本小题满分12分）
如图所示，点是边长为2的正方形所在平面外一点，且，平面平面．
（1）求证：；
（2）若二面角与的大小均为45°，求过，，，，五点的球的表面积．
22．（本小题满分12分）
对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称有“※点”．
（1）试判断函数在上是否有“※点”，并说明理由；
（2）若函数在上有“※点”，求正实数的取值范围．
江苏省苏州高中2021-2022学年度第一学期期初考试
高二数学答案
2021.8.30
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】，，故选D
2．【答案】B
【解析】，故共轭复数为，故选B
3．【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，则①；因为侧面展开图是一个半圆，所以，∴②，把②代入①得，解得，故选C
4．【答案】B
．
【解析】，周期，且为偶函数，故选B
5．【答案】A
【解析】易判断A正确
6．【答案】B
【解析】由题意可得，∴，解得；又方程有实根，则，解得，或；
综上，的值为．
故选：B．
7．【答案】B
【解析】甲、乙两人对同一个靶各射击一次，
设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，
事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，
在①中，靶未被击中应该为甲未击中且乙未击中，
所以事件是指事件不发生且事件不发生，∴，故①正确；
在②中，事件表示事件和事件至少有一个发生，
∴，故②错误；
在③中，事件表示事件和事件至少有一个发生，
∴，故③正确；
在④中，，故④错误；
在⑤中，，故⑤正确；
在⑥中，由对立事件概率计算公式得，故⑥正确：
在⑦中，由互斥事件概率计算公式得，故⑦错误．
故选：B．
8．【答案】A
【解析】，当且仅当时，即时等号成立，故选A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，
【答案】ABC
【解析】A选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，所以选项A正确，
B选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率为0.25，因此，不及格的人数为，所以选项B正确，
C选项，由频率分布直方图可得，平均分等于
（分），所以选项C正确，
D选项，因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，
所以中位数为（分），所以选项D错误，
故选：ABC．
10．【答案】ABC
【解析】对于A：，∴为钝角，A正确；
对于B，，故为钝角，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，故为直角，D错误；
故选ABC
11．【答案】AB
【解析】利用向量加法的三角形法则，可得给定向量，总存在向量，使，故A正确；
利用平面向量的基本定理，可得给定向量和，总存在实数和，使，故B正确：
以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故C是错的；
利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，故D是错的．
故选：AB．
12．【答案】ACD
【解析】由，，可得平面，故A正确；
由，平面平面，可得平面，
可设，，，，
为的中点时，，可得，
，故B错误；
为的中点时，，，故C正确；
由，可得，化为，解得，
可得该方程在有两个不等的正根，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】3．
【解析】
∴
14．【答案】1024
15．【答案】
【解析】；对称轴方程，，即，，时，，时，，若在上仅有一条对称轴，则，故答案为
16．【答案】1；7
【解析】第一空：由|可知，∴；
第二空：设，，，，，
则；，∴；如图所示，作点关于的对称点，则；则当，，三点共线时，有最小值，此时，，
，在中，由余弦定理，∴，
即的最小值为7
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解析】（1）由题意可知，
在中，由余弦定理，，
所以．
（2），则．
又，
所以．
18．【解析】（1）因为，，
所以．
分因为，所以，
解得或．又因为，所以．
（2）由（1）知，设，
由，所以，
得，而，
∴，∴，故．
∴，
∵，∴，故．
19．【解析】（1）由对款饮料的评分饼状图，得对款饮料评分在60分以下的频率为，
所以对款饮料评分在60分以下的人数为万人，
同理对款饮料评分在60分以下的人数为万人，
所以至少对-款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值为30万人，最小值为20万人．
（2）从受访者对，两款饮料购买期望角度看：
款饮料购买期望的分布列为
0.2
0.6
0.9
0.2
0.3
0.5
方案“选择倾向指数”的分布列为
0.2
0.6
0.9
0.1
0.35
0.55
∴，
．
根据上述期望可知，故新品推介应该主推款饮料．
20．【解析】（1）法一（坐标法）：以所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，，，
∴，．
设与所成角为，
∴，
法二（基底法）：，，
∴；
∴；
；
，
∴
（2）∵，，三点共线，可设，
同理，可设．
由平面向量基本定理可得，解得，
∴，，
所以的值为．
21．【解析】（1）证明∵，平面，平面，
∴平面，∵平面平面，平面，
∴．
（2）过点作平面的垂线，垂足为．
由于，则；
由于二面角与相等，则到，的距离相等；
又因为四边形是正方形，所以点为正方形的中心，
即四棱锥是正四棱锥．
又因为底面边长为2，二面角为45°，
所以．过，，，，五点的球的球心在上，
设，从而，解得：，
所以球的表面积为．
22．【解析】（1）由题意，令，则为的零点，
因为，，所以，
由零点存在定理可知，函数在区间上至少由1个实根，
即至少由1个实根，所以函数在上有“※点”．
（2）若函数在上有“※点”，则存在实数，
使得成立，
即，
整理得，．
当时，，不合题意；
当时，令，则在上有零点．
当时，的图象开口向下，对称轴，在上单调递减，，所以在上恒小于零，不合题意，
当时，的图象开口向上，对称轴，由题意只要，
即，解得．因为，所以．
综上．
高二数学
2021.8.30
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知为虚数单位，，，复数的共轭复数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知圆锥的表面积为，且侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（
）
A．
B．
C．
D．
4．设函数，，则是（
）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
5．设，，成立的充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若，是方程的两根，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰有一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．若，是正常数，，，，则当且仅当时取等号．利用以上结论函数，取得最小值时的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，
9．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法正确的是（
）
A．成绩在分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
10．下列条件能够判定是钝角三角形的是（
）
A．，，
B．
C．
D．
11．在同一平面内，设是给定的非零向量，，，两两不共线，则关于的分解说法正确的是（
）
A．给定向量，总存在向量，使得
B．给定向量和，总存在实数和，使得
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使得
D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使得
12．在中，，，，点，分别为边，上的两点（不与端点重合），且，将沿折起，使平面平面，则下列说法正确的是（
）
A．平面
B．若为的中点，三棱锥的体积等于三棱锥的体积
C．若为的中点，三棱锥的体积为
D．上存在两个不同的点，，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，且，则______
14．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为（其中为常数，表示时间，单位：小时，表示病毒个数），则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个
15．若函数的图象只有一条对称轴落在区间上，则实数的取值范围是______
16．已知非零向量，的夹角为，，对任意，有，则______，从而的最小值是______
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
如图，在四边形中，，，．
（1）求的长；
（2）若的面积为6，求的值．
18．（本小题满分10分）
已知复数，，．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）
2019年某饮料公司计划从，两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图．
从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在的受访者中有20%会购买，评分在的受访者中有60%会购买，评分在的受访者中有90%会购买．
（1）在受访的100万人中，估计至少对一款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值与最小值（单位：万人）；
（2）如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由．
20．（本小题满分12分）
如图，在中，已知，，点为的中点，点，在边，上，且，，交于点．
（1）若，求与所成角的余弦值；
（2）若，求的值．
21．（本小题满分12分）
如图所示，点是边长为2的正方形所在平面外一点，且，平面平面．
（1）求证：；
（2）若二面角与的大小均为45°，求过，，，，五点的球的表面积．
22．（本小题满分12分）
对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称有“※点”．
（1）试判断函数在上是否有“※点”，并说明理由；
（2）若函数在上有“※点”，求正实数的取值范围．
江苏省苏州高中2021-2022学年度第一学期期初考试
高二数学答案
2021.8.30
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】，，故选D
2．【答案】B
【解析】，故共轭复数为，故选B
3．【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，则①；因为侧面展开图是一个半圆，所以，∴②，把②代入①得，解得，故选C
4．【答案】B
．
【解析】，周期，且为偶函数，故选B
5．【答案】A
【解析】易判断A正确
6．【答案】B
【解析】由题意可得，∴，解得；又方程有实根，则，解得，或；
综上，的值为．
故选：B．
7．【答案】B
【解析】甲、乙两人对同一个靶各射击一次，
设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，
事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，
在①中，靶未被击中应该为甲未击中且乙未击中，
所以事件是指事件不发生且事件不发生，∴，故①正确；
在②中，事件表示事件和事件至少有一个发生，
∴，故②错误；
在③中，事件表示事件和事件至少有一个发生，
∴，故③正确；
在④中，，故④错误；
在⑤中，，故⑤正确；
在⑥中，由对立事件概率计算公式得，故⑥正确：
在⑦中，由互斥事件概率计算公式得，故⑦错误．
故选：B．
8．【答案】A
【解析】，当且仅当时，即时等号成立，故选A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，
【答案】ABC
【解析】A选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，所以选项A正确，
B选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率为0.25，因此，不及格的人数为，所以选项B正确，
C选项，由频率分布直方图可得，平均分等于
（分），所以选项C正确，
D选项，因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，
所以中位数为（分），所以选项D错误，
故选：ABC．
10．【答案】ABC
【解析】对于A：，∴为钝角，A正确；
对于B，，故为钝角，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，故为直角，D错误；
故选ABC
11．【答案】AB
【解析】利用向量加法的三角形法则，可得给定向量，总存在向量，使，故A正确；
利用平面向量的基本定理，可得给定向量和，总存在实数和，使，故B正确：
以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故C是错的；
利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，故D是错的．
故选：AB．
12．【答案】ACD
【解析】由，，可得平面，故A正确；
由，平面平面，可得平面，
可设，，，，
为的中点时，，可得，
，故B错误；
为的中点时，，，故C正确；
由，可得，化为，解得，
可得该方程在有两个不等的正根，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】3．
【解析】
∴
14．【答案】1024
15．【答案】
【解析】；对称轴方程，，即，，时，，时，，若在上仅有一条对称轴，则，故答案为
16．【答案】1；7
【解析】第一空：由|可知，∴；
第二空：设，，，，，
则；，∴；如图所示，作点关于的对称点，则；则当，，三点共线时，有最小值，此时，，
，在中，由余弦定理，∴，
即的最小值为7
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解析】（1）由题意可知，
在中，由余弦定理，，
所以．
（2），则．
又，
所以．
18．【解析】（1）因为，，
所以．
分因为，所以，
解得或．又因为，所以．
（2）由（1）知，设，
由，所以，
得，而，
∴，∴，故．
∴，
∵，∴，故．
19．【解析】（1）由对款饮料的评分饼状图，得对款饮料评分在60分以下的频率为，
所以对款饮料评分在60分以下的人数为万人，
同理对款饮料评分在60分以下的人数为万人，
所以至少对-款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值为30万人，最小值为20万人．
（2）从受访者对，两款饮料购买期望角度看：
款饮料购买期望的分布列为
0.2
0.6
0.9
0.2
0.3
0.5
方案“选择倾向指数”的分布列为
0.2
0.6
0.9
0.1
0.35
0.55
∴，
．
根据上述期望可知，故新品推介应该主推款饮料．
20．【解析】（1）法一（坐标法）：以所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，，，
∴，．
设与所成角为，
∴，
法二（基底法）：，，
∴；
∴；
；
，
∴
（2）∵，，三点共线，可设，
同理，可设．
由平面向量基本定理可得，解得，
∴，，
所以的值为．
21．【解析】（1）证明∵，平面，平面，
∴平面，∵平面平面，平面，
∴．
（2）过点作平面的垂线，垂足为．
由于，则；
由于二面角与相等，则到，的距离相等；
又因为四边形是正方形，所以点为正方形的中心，
即四棱锥是正四棱锥．
又因为底面边长为2，二面角为45°，
所以．过，，，，五点的球的球心在上，
设，从而，解得：，
所以球的表面积为．
22．【解析】（1）由题意，令，则为的零点，
因为，，所以，
由零点存在定理可知，函数在区间上至少由1个实根，
即至少由1个实根，所以函数在上有“※点”．
（2）若函数在上有“※点”，则存在实数，
使得成立，
即，
整理得，．
当时，，不合题意；
当时，令，则在上有零点．
当时，的图象开口向下，对称轴，在上单调递减，，所以在上恒小于零，不合题意，
当时，的图象开口向上，对称轴，由题意只要，
即，解得．因为，所以．
综上．
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