2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试（Word版，含答案解析）

第1章
勾股定理
一、填空题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝15cm，则a＝　
　cm．
2．在Rt△ABC中，a＝3，b＝4，则c2＝　
　．
3．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是
　
　．
4．如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
　
　．
5．一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有
　
　cm．
6．如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长
　
　．
7．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为
　
　．
二、选择题
8．以下列各组值为三角形的三边，不能组成直角三角形的是（　　）
A．1.5，2，2.5
B．7，24，25
C．3，4，5
D．三边满足：（a﹣b）2＝c2﹣2ab
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　）
A．10
B．9
C．8
D．7
11．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（　　）
A．36
B．9
C．6
D．18
三、解答题
12．如图，在△ACD中，AD＝17，AC＝15，DC＝8，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝25．求：△ABD的面积．
13．2020年春季“新冠肺炎”在武汉全面爆发，蔓延全国，危及到人民生命安全，为了积极响应国家防控政策，双流区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传防控措施，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假设宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
四、填空题
14．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使D点落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是
　
　．
15．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为
　
　．
16．等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为
　
　秒．
五、解答题
17．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE．
①求证：四边形BCGE是垂美四边形；
②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
18．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．
（1）求证：△AMN≌△PAQ；
（2）求证：PC＝AN；
（3）若NP＝2，AQ＝4，求BC的长．
参考答案与试题解析
一、填空题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝15cm，则a＝　9　cm．
【分析】设a＝3x，则b＝4x，根据勾股定理即可列方程求得x的值，进而求得a的值．
【解答】解：设a＝3x，则b＝4x．
∵Rt△ABC中，a2+b2＝c2，
∴（3x）2+（4x）2＝152，
解得：x＝±3（负值舍去），
则a＝3x＝9（cm）．
故答案为：9．
2．在Rt△ABC中，a＝3，b＝4，则c2＝　7或25　．
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：当a，b都是直角边时，c2＝16+9＝25，
当b是斜边时，c2＝16﹣9＝7，
故答案为：7或25．
3．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是
　10　．
【分析】根据正方形性质得出AB＝CB，∠ABC＝90°，求出∠MAB＝∠NBC，证明△AMB≌△BNC（AAS），求出BM＝CN＝3，在Rt△AMB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝180°﹣90°＝90°，∠ABM+∠MAB＝90°，
∴∠MAB＝∠CBN，
在△AMB和△BNC中，
，
∴△AMB≌△BNC（AAS），
∴BM＝CN＝3，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积是10，
故答案为：10．
4．如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
　5cm　．
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（2+4）2+12＝37；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（1+4）2+22＝29；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+42＝25．
所以最短路径的长为AB＝＝5cm．
故答案为：5cm．
5．一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有
　3　cm．
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）．
故答案为：3．
6．如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长
　9　．
【分析】由四边形ABCD是长方形，可得∠B＝90°，AB＝CD，由折叠的性质可得：EF＝AE＝5，然后由勾股定理求得BE的长，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝90°，AB＝CD，
由折叠的性质可得：EF＝AE＝5，
在Rt△BEF中，BE＝＝＝4，
∴CD＝AB＝AE+BE＝5+4＝9．
故答案为：9．
7．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为
　10　．
【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可．
【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2
∴BF＝BG﹣BF＝6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝＝＝10．
故答案是：10．
二、选择题
8．以下列各组值为三角形的三边，不能组成直角三角形的是（　　）
A．1.5，2，2.5
B．7，24，25
C．3，4，5
D．三边满足：（a﹣b）2＝c2﹣2ab
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵1.52+22＝2.52，∴此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵72+242＝252，∴此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵（3）2+（4）2≠（5）2，∴此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵（a﹣b）2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2，∴此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
【解答】解：连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，
又S△AMC＝MN?AC＝AM?MC，
∴MN＝＝．
故选：C．
10．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　）
A．10
B．9
C．8
D．7
【分析】根据图形和勾股定理，可以得到S1+S2＝S3，同理可得，S5+S6＝S4，然后根据S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，即可得到S3+S4的值，本题得以解决．
【解答】解：如右图所示，
∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，
同理可得，S5+S6＝S4，
∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，
∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）＝4+6＝10，
故选：A．
11．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（　　）
A．36
B．9
C．6
D．18
【分析】根据角平分线的定义、外角定理推知∠ECF＝90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝3，EF＝6，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，
故选：A．
三、解答题
12．如图，在△ACD中，AD＝17，AC＝15，DC＝8，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝25．求：△ABD的面积．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°，根据勾股定理求出BC，求出BD，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵AD＝17，AC＝15，DC＝8，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠C＝90°，
∵AB＝25，AC＝15，
∴由勾股定理得：BC＝＝20，
∴BD＝BC﹣DC＝20﹣8＝12，
∴△ABD的面积是＝＝90．
13．2020年春季“新冠肺炎”在武汉全面爆发，蔓延全国，危及到人民生命安全，为了积极响应国家防控政策，双流区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传防控措施，如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假设宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
【解答】解：（1）村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝BQ＝（米），
∴PQ＝1600米，
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8（分钟），
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
四、填空题
14．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使D点落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是
　4　．
【分析】根据折叠可得DH＝EH，在直角△CEH中，设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，根据BE：EC＝2：1可得CE＝3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
【解答】解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，
∵BE：EC＝2：1，BC＝9，
∴CE＝BC＝3，
在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
即（9﹣x）2＝32+x2，
解得：x＝4，
即CH＝4．
故答案为：4．
15．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为
　6　．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，如图所示，由D为BC的中点，得到CD＝BD，再由一对对顶角相等，利用SAS得出三角形ACD与三角形EDB全等，由全等三角形的对应边相等得到BE＝DC＝3，由AE＝2AD＝4，AB＝5，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABE为直角三角形，即AE垂直于BE，利用垂直定义得到一对直角相等，三角形ABC的面积等于三角形ABD与三角形ACD面积之和，求出即可．
【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴DC＝BD，
∵在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，∠CAD＝∠E，
又∵AE＝2AD＝4，AB＝5，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴∠CAD＝∠E＝90°，
则S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝AD?BE+AD?AC＝×2×3+×2×3＝6．
故答案为：6．
16．等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为
　7或25　秒．
【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，
∵BC＝8cm，
∴BD＝CD＝BC＝4cm，
∴AD＝＝3，
分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，
∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52∴PD＝2.25，
∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，
∴t＝7秒，
当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD＝2.25，
∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，
∴t＝25秒，
∴点P运动的时间为7秒或25秒．
五、解答题
17．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE．
①求证：四边形BCGE是垂美四边形；
②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）由垂美四边形得出AC⊥BD，则∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论；
（2）①连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，由正方形的性质得出AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，易求∠GAB＝∠CAE，由SAS证得△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，由∠AEC+∠AME＝90°，得出∠ABG+∠AME＝90°，推出∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，即可得出结论；
②垂美四边形得出CG2+BE2＝CB2+GE2，由勾股定理得出BC＝＝3，由正方形的性质得出CG＝4，BE＝5，则GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形BCGE是垂美四边形；
②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，
∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
18．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．
（1）求证：△AMN≌△PAQ；
（2）求证：PC＝AN；
（3）若NP＝2，AQ＝4，求BC的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△AQP≌△MNA；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到AN＝PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC＝PQ；从而得到PC＝AN；
（3）由勾股定理可求AM＝5，进而可得AC＝8，由勾股定理可求BC的长．
【解答】证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM＝∠ANM＝90°，
∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°，
∴∠PAQ＝∠AMN，
∵PQ⊥AB
MN⊥AC，
∴∠PQA＝∠ANM＝90°，
∴在△PQA与△ANM中，
，
∴△PQA≌△ANM（ASA）；
（2）∵△PQA≌△ANM，
∴AN＝PQ
AM＝AP，
∴∠AMB＝∠APM，
∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠PBC，
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ＝PC（角平分线的性质），
∴PC＝AN；
（3）∵AM2＝AN2+MN2，
∴AM2＝（AP﹣NP）2+MN2，
又∵NP＝2，AQ＝MN＝4，
∴AM2＝（AM﹣2）2+16，
∴AM＝5，
∴AP＝5，AN＝3＝QP＝PC，
∴AC＝8，
∵QP＝PC，BP＝BP，
∴Rt△BPC≌Rt△BPQ（HL），
∴BC＝BQ，
在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∴（4+BC）2＝BC2+64，
∴BC＝6．