2020-2021学年 北师大版九年级数学上册 2.1 认识一元二次方程 同步练习（word版含解析）

2.1
认识一元二次方程
一、选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2xy+3y2＝0
B．x2+﹣3＝0
C．（y﹣3）（x﹣2）＝x2
D．x（x﹣2）＝1
2．下列各数中是x2+3x+2＝0的解的是（　　）
A．1
B．2
C．﹣2
D．0
3．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0
B．y2+x＝1
C．x2+1＝0
D．x2＝1
4．已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为（　　）
A．3
B．0
C．﹣3
D．±3
5．下列方程中，不是一元二次方程的是（　　）
A．2x2+7＝0
B．2x2+2x+1＝0
C．5x2++4＝0
D．3x2+（1+x）+1＝0
6．一元二次方程7x2﹣2x＝0的二次项、一次项、常数项依次是（　　）
A．7x2，2x，0
B．7x2，﹣2x，无常数项
C．7x2，0，2x
D．7x2，﹣2x，0
7．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是1，一次项系数是﹣2，常数项是﹣3的方程是（　　）
A．2x＝x2+3
B．x2﹣2x＝3
C．2x+3＝﹣x2
D．x2+2x＝3
二、填空题
8．方程（3x﹣1）（2x+4）＝1化成一般形式是　
　，其中二次项系数为　
　，一次项系数为　
　，常数项为　
　．
9．小明家有一块长150cm，宽100cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的2倍，若设花色地毯的宽为xcm，则根据题意，可列方程为　
　，并化成一般形式　
　．
10．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5＝0的一个根是﹣1，则m＝　
　．
11．方程5（x2﹣x+1）＝﹣3x+2的一般形式是　
　，其二次项是　
　，一次项是　
　，常数项是　
　．
12．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x﹣1＝0是一元二次方程的条件是　
　．
13．把方程x2﹣4x＝﹣5整理成一般形式后，得其中常数项是　
　．
14．关于x的方程（m﹣4）x2+（m+4）x+2m+3＝0，当m　
　时，是一元二次方程；当m　
　时，是一元一次方程．
三、解答题
15．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）（x﹣5）2＝36；
（2）3y（y+1）＝2（y+1）．
16．已知关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x﹣5＝0．
①当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．
②当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
17．现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3：2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2xy+3y2＝0
B．x2+﹣3＝0
C．（y﹣3）（x﹣2）＝x2
D．x（x﹣2）＝1
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．下列各数中是x2+3x+2＝0的解的是（　　）
A．1
B．2
C．﹣2
D．0
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x2+3x+2＝0，
∴（x+1）（x+2）＝0，
则x+1＝0或x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2，
故选：C．
3．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0
B．y2+x＝1
C．x2+1＝0
D．x2＝1
【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【解答】解：A、2x+1＝0未知数的最高次数是1，故错误；
B、y2+x＝1含有两个未知数，故错误；
C、x2+1＝0是一元二次方程，正确；
D、是分式方程，故错误．
故选：C．
4．已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为（　　）
A．3
B．0
C．﹣3
D．±3
【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出m的值即可．
【解答】解：方程整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2﹣9＝0，
由常数项为0，得到m2﹣9＝0，
解得：m＝3（舍去）或m＝﹣3，
则m＝﹣3，
故选：C．
5．下列方程中，不是一元二次方程的是（　　）
A．2x2+7＝0
B．2x2+2x+1＝0
C．5x2++4＝0
D．3x2+（1+x）+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、2x2+7＝0是一元二次方程，故A不符合题意；
B、2x2+2x+1＝0是一元二次方程，故B不符合题意；
C、5x2++4＝0是分式方程，故C符合题意；
D、3x2+（1+x）+1＝0是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：C．
6．一元二次方程7x2﹣2x＝0的二次项、一次项、常数项依次是（　　）
A．7x2，2x，0
B．7x2，﹣2x，无常数项
C．7x2，0，2x
D．7x2，﹣2x，0
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：一元二次方程7x2﹣2x＝0的二次项、一次项、常数项依次是7x2，﹣2x，0．故选D．
7．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是1，一次项系数是﹣2，常数项是﹣3的方程是（　　）
A．2x＝x2+3
B．x2﹣2x＝3
C．2x+3＝﹣x2
D．x2+2x＝3
【分析】根据题意确定出所求方程即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
其二次项系数是1，一次项系数是﹣2，常数项是﹣3，
故选：B．
二、填空题
8．方程（3x﹣1）（2x+4）＝1化成一般形式是　6x2+10x﹣5＝0　，其中二次项系数为　6　，一次项系数为　10　，常数项为　﹣5　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程（3x﹣1）（2x+4）＝1化成一般形式是6x2+10x﹣5＝0，其中二次项系数为6，一次项系数为10，常数项为﹣5．
9．小明家有一块长150cm，宽100cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的2倍，若设花色地毯的宽为xcm，则根据题意，可列方程为　（150+2x）（100+2x）＝2×150×100　，并化成一般形式　x2+125x﹣3750＝0　．
【分析】如果设花色地毯的宽为xcm，则镶完后地毯的长是（150+2x）cm，宽是（100+2x）cm，则面积是（150+2x）（100+2x）cm2，原地毯的面积是150×100cm2，根据“镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍”，即可列出方程．
【解答】解：设花色地毯的宽为xcm，
那么地毯的面积＝（150+2x）（100+2x），
镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，
所以，可得出（150+2x）（100+2x）＝2×150×100，
即：x2+125x﹣3750＝0．
故答案为：（150+2x）（100+2x）＝2×150×100，x2+125x﹣3750＝0．
10．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5＝0的一个根是﹣1，则m＝　1　．
【分析】设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5＝0的另一个根a，利用根与系数的关系先求出a，再得利用根与系数的关系先求出m即可．
【解答】解：∵设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5＝0的另一个根a，
∴a×（﹣1）＝﹣，解得a＝，
∴+（﹣1）＝，解得m＝1．
故答案为：1．
11．方程5（x2﹣x+1）＝﹣3x+2的一般形式是　5x2﹣（5﹣3）x+3＝0　，其二次项是　5x2　，一次项是　﹣（5﹣3）x　，常数项是　3　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程5（x2﹣x+1）＝﹣3x+2的一般形式是5x2﹣（5﹣3）x+3＝0，二次项、一次项、常数项分别是5x2；﹣（5﹣3）x；3．
故答案是：5x2﹣（5﹣3）x+3＝0；5x2；﹣（5﹣3）x；3．
12．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x﹣1＝0是一元二次方程的条件是　m≠1　．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m﹣1≠0，继而即可得出m的取值范围．
【解答】解：由一元二次方程的定义得：m﹣1≠0，
解得m≠1．
故答案为：m≠1．
13．把方程x2﹣4x＝﹣5整理成一般形式后，得其中常数项是　5　．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：x2﹣4x＝﹣5整理成一般形式为x2﹣4x+5＝0．
其中常数项是5，
故答案为：5．
14．关于x的方程（m﹣4）x2+（m+4）x+2m+3＝0，当m　≠4　时，是一元二次方程；当m　＝4　时，是一元一次方程．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：方程（m﹣4）x2+（m+4）x+2m+3＝0的二次项是（m﹣4）x2，m﹣4≠0，得m≠4；
当m＝4时二次项系数为0，是一元一次方程．
三、解答题
15．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）（x﹣5）2＝36；
（2）3y（y+1）＝2（y+1）．
【分析】（1）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数；
（2）首先去括号、移项、合并同类项，进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数．
【解答】解：（1）一元二次方程（x﹣5）2＝36的一般形式是：x2﹣10x﹣11＝0，
二次项系数是1、一次项系数是﹣10，常数项是﹣11；
（2）一元二次方程3y（y+1）＝2（y+1）的一般形式是：3y2+y﹣2＝0，
二次项系数3、一次项系数是1，常数项是﹣2．
16．已知关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x﹣5＝0．
①当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．
②当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】分别根据一元一次方程和一元二次方程的定义解答即可．
【解答】解：①根据一元一次方程的定义可知：m2﹣9＝0，m+3≠0，
解得：m＝3，
此时化简方程为：6x﹣5＝0，解得：x＝；
②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣9≠0，
解得：m≠±3．
该方程的二次项系数为：m2﹣9（m≠±3）；一次项系数为：m+3；常数项为：﹣5．
17．现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3：2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来．
【分析】由游泳池与周围部分面积之比为3：2可得等量关系为：游泳池的面积＝场地面积的，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：若设便道及休息区宽度为x米，则游泳池面积为（40﹣2x）（30﹣2x）米2，依题意，可得方程：（40﹣2x）（30﹣2x）＝×40×30．
解得x1≈3.9，x2≈31.1（不合题意，舍去）．
所以便道及休息区宽约为3.9米．