4.2 一次函数与正比例函数同步练习题2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版 含答案）

4.2
一次函数与正比例函数
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）
1．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　）
①y＝x﹣6；②y＝；③y＝；④y＝7﹣x．
A．①②③
B．①③④
C．①②③④
D．②③④
2．下列函数是正比例函数的是（　　）
A．y＝4x+1
B．y＝﹣3x
C．y＝﹣
D．y＝﹣x2
3．若函数y＝（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（　　）
A．m
B．m＝
C．m
D．m＝﹣
4．若3y﹣4与2x﹣5成正比例，则y是x的（　　）
A．正比例函数
B．一次函数
C．没有函数关系
D．以上均不正确
5．如所示，一长为50cm，宽为20cm的长方形木板，现要在长边上截去长为xcm的一部分，则剩余木板的面积S（cm）与x（0≤x＜50）之间的关系式为（　　）
A．S＝1000﹣x
B．S＝1000﹣20x
C．S＝20x
D．S＝50x
6．水池贮水800m3，每小时放水2m3，t小时后，水池中水为Q
m3，用t表示Q的函数关系为（　　）
A．Q＝800﹣2t
B．Q＝800+2t
C．Q＝
D．Q＝2t
7．在下列函数关系中：①y＝kx，②y＝x，③y＝x2﹣（x﹣1）x，④y＝x2+1，⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（　　）
A．3个
B．2个
C．4个
D．5个
8．如果y是x的正比例函数，x是z的一次函数，那么y是z的（　　）
A．正比例函数
B．一次函数
C．正比例函数或一次函数
D．不构成函数关系
9．在下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．
B．
C．y＝x2
D．
10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（　　）
A．x＝20
B．x＝5
C．x＝25
D．x＝15
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
11．已知函数y＝（k﹣2）x+（k2﹣4），当k＝　
　时，它为正比例函数．
12．某种大米的单价是2.4元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元，则x与y的函数关系式是　
　．
13．已知y＝x|k|+3是一次函数，则k＝　
　．
14．如图，直线y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣2，0），则方程ax+b＝0的解是　
　．
15．函数y＝（k+1）是正比例函数，则常数k的值为　
　．
16．达成铁路扩能改造工程将于今年6月底完工，届时达州至成都运营长度约为350千米，若一列火车以170千米/时的平均速度从达州开往成都，则火车距成都的路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数关系式为　
　．
17．某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米，耗油9升，那么油箱中的余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式为　
　，y　
　（填“是”或“不是”）x的一次函数，y　
　（填“是”或“不是”）x的正比例函数．
18．如图，正方形ABCD的边长为2，M是CD边上的动点，设CM＝x，梯形ABCM的面积为y，那么y与x之间的函数关系表达式是　
　．
三、解答题（本题共计7小题，共计66分，）
19．已知A、B两地相距30km，小明以6km/h的速度从A步行到B地，走过的距离为ykm，步行的时间为xh．
（1）求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数；
（2）写出该函数自变量的取值范围．
20．已知一个长方形周长为60米．求它的长y（米）与宽x（米）之间的函数关系式，并指出关系式中的自变量与函数．
21．某市场摩托车自行车保管处平均一天接受保管的车辆共有500辆次，其中摩托车保管为1元，自行车为0.5元，自行车一天停放x辆，一天总保管费为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
22．已知函数．
（1）当m取什么值时，该函数是一次函数；
（2）当m取什么值时，该函数是正比例函数？
23．一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．
（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；
（2）该蚊香可点燃多长时间？
24．观察一次函数和正比例函数的表达式，回答下面的问题．
（1）说出它们之间的相互联系；
（2）在下列函数中，x是自变量，y是因变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
y＝2x；y＝﹣；y＝﹣3x+1；y＝x2．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）
1．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　）
①y＝x﹣6；②y＝；③y＝；④y＝7﹣x．
A．①②③
B．①③④
C．①②③④
D．②③④
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：①y＝x﹣6符合一次函数的定义，故本选项正确；
②y＝是反比例函数；故本选项错误；
③y＝，属于正比例函数，是一次函数的特殊形式，故本选项正确；
④y＝7﹣x符合一次函数的定义，故本选项正确；
综上所述，符合题意的是①③④；
故选：B．
2．下列函数是正比例函数的是（　　）
A．y＝4x+1
B．y＝﹣3x
C．y＝﹣
D．y＝﹣x2
【分析】根据正比例函数的定义，一次函数的定义，反比例函数的定义，以及二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、y＝4x+1是一次函数，故本选项错误；
B、y＝﹣3x是正比例函数，故本选项正确；
C、y＝﹣是反比例函数，故本选项错误；
D、y＝﹣x2是二次函数，故本选项错误．
故选：B．
3．若函数y＝（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（　　）
A．m
B．m＝
C．m
D．m＝﹣
【分析】根据一次函数的定义列出算式计算即可．
【解答】解：由题意得，2m+1＝0，
解得，m＝﹣，
故选：D．
4．若3y﹣4与2x﹣5成正比例，则y是x的（　　）
A．正比例函数
B．一次函数
C．没有函数关系
D．以上均不正确
【分析】根据正比例函数的定义，设3y﹣4＝k（2x﹣5）（k≠0），再用x表示y，然后根据一次函数的定义进行判断．
【解答】解：设3y﹣4＝k（2x﹣5）（k≠0），
所以y＝kx+，
所以y是x的一次函数．
故选：B．
5．如所示，一长为50cm，宽为20cm的长方形木板，现要在长边上截去长为xcm的一部分，则剩余木板的面积S（cm）与x（0≤x＜50）之间的关系式为（　　）
A．S＝1000﹣x
B．S＝1000﹣20x
C．S＝20x
D．S＝50x
【分析】根据剩余面积S＝原面积﹣截去面积．
【解答】解：依题意有：S＝50×20﹣20x＝1000﹣20x．
故选：B．
6．水池贮水800m3，每小时放水2m3，t小时后，水池中水为Q
m3，用t表示Q的函数关系为（　　）
A．Q＝800﹣2t
B．Q＝800+2t
C．Q＝
D．Q＝2t
【分析】根据水池贮水800m3，水池剩水量为Q，每小时放水2m3，t小时后，放出水量为：2t，进而表示出Q与t的关系即可．
【解答】解：∵水池贮水800m3，每小时放水2m3，t小时后，水池中水为Qm3，
∴Q＝800﹣2t，
故选：A．
7．在下列函数关系中：①y＝kx，②y＝x，③y＝x2﹣（x﹣1）x，④y＝x2+1，⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（　　）
A．3个
B．2个
C．4个
D．5个
【分析】根据一次函数的定义条件解答即可．
【解答】解：①y＝kx当k＝0时原式不是函数；
②y＝x是一次函数；
③由于y＝x2﹣（x﹣1）x＝x，则y＝x2﹣（x﹣1）x是一次函数；
④y＝x2+1自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤y＝22﹣x是一次函数．
故选：A．
8．如果y是x的正比例函数，x是z的一次函数，那么y是z的（　　）
A．正比例函数
B．一次函数
C．正比例函数或一次函数
D．不构成函数关系
【分析】根据y是x的正比例函数，x是z的一次函数，可以设出相应的函数解析式，然后变形，利用分类讨论的方法，即可得到y与z的函数关系．
【解答】解：设y＝k1x（k1≠0），x＝k2z+b（k2≠0），
故y＝k1（k2z+b）＝k1k2z+k1b，
∴当b≠0时，y是z的一次函数．当b＝0时，y是z的正比例函数，
故选：C．
9．在下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．
B．
C．y＝x2
D．
【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B．是正比例函数，故本选项符合题意；
C．是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．不是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（　　）
A．x＝20
B．x＝5
C．x＝25
D．x＝15
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【解答】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）
∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20．
故选：A．
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
11．已知函数y＝（k﹣2）x+（k2﹣4），当k＝　﹣2　时，它为正比例函数．
【分析】根据正比例函数的定义和题目中的函数解析式，可以得到，然后求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x+（k2﹣4）为正比例函数，
∴，
解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．某种大米的单价是2.4元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元，则x与y的函数关系式是　y＝2.4x　．
【分析】关系式为：花费＝单价×数量，把相关数值代入即可．
【解答】解∵大米的单价是2.4元/千克，数量为x千克，
∴y＝2.4x，
故答案为：y＝2.4x．
13．已知y＝x|k|+3是一次函数，则k＝　±1　．
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：由题意，得
|k|＝1，
饥饿的k＝±1，
故答案为：±1．
14．如图，直线y＝ax+b过点A（0，3）和点B（﹣2，0），则方程ax+b＝0的解是　x＝﹣2　．
【分析】一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点横坐标就是ax+b＝0的解．
【解答】解：∵直线y＝ax+b过点B（﹣2，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2．
15．函数y＝（k+1）是正比例函数，则常数k的值为　1　．
【分析】根据正比例函数的定义可得出关于k的方程，即可得出k的值．
【解答】解：k+1≠0，k2＝1，
∴k＝1．
故填1．
16．达成铁路扩能改造工程将于今年6月底完工，届时达州至成都运营长度约为350千米，若一列火车以170千米/时的平均速度从达州开往成都，则火车距成都的路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数关系式为　y＝350﹣170x　．
【分析】根据火车距成都的路程＝350﹣行驶路程得出．
【解答】解：根据题意可得：y＝350﹣170x．
17．某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米，耗油9升，那么油箱中的余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式为　y＝100﹣x　，y　是　（填“是”或“不是”）x的一次函数，y　不是　（填“是”或“不是”）x的正比例函数．
【分析】根据汽车每行驶50千米，耗油9升，先求出每千米的耗油量，再求出行驶x千米的耗油量，从而得出油箱中的余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式，由一次函数的关系式y＝kx+b（k≠0），当b＝0时，即为正比例函数．
【解答】解：由题意得油箱中的余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式为y＝100﹣x，
y是x的一次函数，但y不是x的正比例函数，
故答案为y＝100﹣x，是，不是．
18．如图，正方形ABCD的边长为2，M是CD边上的动点，设CM＝x，梯形ABCM的面积为y，那么y与x之间的函数关系表达式是　y＝x+2　．
【分析】根据梯形的面积公式列出函数关系式即可．
【解答】解：y＝（MC+AB）×BC＝（x+2）×2＝x+2．
故答案为：y＝x+2．
三、解答题（本题共计7小题，共计66分，）
19．已知A、B两地相距30km，小明以6km/h的速度从A步行到B地，走过的距离为ykm，步行的时间为xh．
（1）求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数；
（2）写出该函数自变量的取值范围．
【分析】（1）利用行驶的距离与速度与时间的关系得出答案；
（2）利用两地的距离得出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝6x，
此函数是正比例函数；
（2）∵A、B两地相距30km，
∴0≤6x≤30，
解得：0≤x≤5，
即该函数自变量的取值范围是：0≤x≤5．
20．已知一个长方形周长为60米．求它的长y（米）与宽x（米）之间的函数关系式，并指出关系式中的自变量与函数．
【分析】根据长方形的周长等于长方形长和宽之和的两倍，写出长与宽的关系式即可．
【解答】解：由题意得，2（x+y）＝60
x+y＝30，
即y＝30﹣x
（0＜x＜30），
自变量是x，y是x的函数，
故长方形的长与宽的关系为：y＝30﹣x
（0＜x＜30）．
21．某市场摩托车自行车保管处平均一天接受保管的车辆共有500辆次，其中摩托车保管为1元，自行车为0.5元，自行车一天停放x辆，一天总保管费为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】根据题意分别表示出摩托车保管总费用以及自行车保管总费用，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得出：
y＝0.5x+（500﹣x）
＝﹣0.5x+500（0≤x≤500）．
22．已知函数．
（1）当m取什么值时，该函数是一次函数；
（2）当m取什么值时，该函数是正比例函数？
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k，b是常数），那么y叫做x的一次函数．当b＝0时，y＝kx+b即y＝kx，是正比例函数．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．由此分析解答即可．
【解答】解：（1）m2﹣m﹣1＝1，且m﹣3≠0，m2+4m﹣12≠0，
解得m＝2，或m＝﹣1；
当m＝2时，m2+4m﹣12＝0，
当m＝﹣1时，m2+4m﹣12＝﹣15，
所以或m＝﹣1时，该函数是一次函数；
（2）m2+4m﹣12＝0且m﹣3≠0，m2﹣m﹣1＝1，
解得m＝2，或m＝﹣6；
当m＝2，m2﹣m﹣1＝1，
当m＝﹣6；m2﹣m﹣1＝41，
所以当m＝2时，该函数是正比例函数．
23．一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．
（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；
（2）该蚊香可点燃多长时间？
【分析】（1）根据蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度用t表示出y即可；
（2）当蚊香的长度y为0时，即蚊香燃尽的时候求出相应的时间即可．
【解答】解：（1）∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴y＝105﹣10t（0≤t≤10.5）；
（2）∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y＝0，
∴105﹣10t＝0，
解得：t＝10.5，
∴该蚊香可点燃10.5小时．
24．观察一次函数和正比例函数的表达式，回答下面的问题．
（1）说出它们之间的相互联系；
（2）在下列函数中，x是自变量，y是因变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
y＝2x；y＝﹣；y＝﹣3x+1；y＝x2．
【分析】（1）根据一次函数和正比例函数的表达式表达的意义解答即可；
（2）根据一次函数和正比例函数的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵一次函数的表达式：y＝kx+b，正比例函数的表达式y＝kx，
∴当b＝0时，一次函数为正比例函数，
∴正比例函数是一次函数的特例；
（2）y＝2x，y＝﹣3x+1是一次函数，y＝2x是正比例函数．