第一章　预备知识 基础夯实 单元测试卷-2021-2022学年上学期高一数学北师大版（2019）必修第一册（Word版，含解析）

第一章　预备知识
基础夯实——2021-2022学年高一数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷
【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，若且，则a的取值为(
)
A.-1
B.4
C.-1或4
D.3
2.已知集合，，，则M，N，P的关系为(
)
A.
B.
C.
D.
3.“”是“成立”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.命题“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
5.已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是(
)
A．
B．
C．
D．
6.已知正数a,b满足,则的最小值为(
)
A.1
B.2
C.4
D.
7.若两个正实数x,y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
8.如果不等式对一切实数x均成立，那么实数m的取值范用是(
)
A.
B.
C.或
D.
9.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（
）
A.
B．
C．
D．
10.已知集合，有下列三个关系：①；②；③，若这三个关系中有且只有一个是正确的，则___________.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.设集合，，当时，集合A的非空真子集的个数为___________；当时，实数m的取值范围是___________.
12.命题“”的否定是__________________.
13.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是________________.
14.已知，，且，则的最小值为__________.
15.设常数，若对一切正实数x都成立，则a的取值范围为____________.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.
（10分）已知函数.
（1）用定义证明在上是增函数；
（2）若在区间上取得的最大值为5，求实数a的值.
17.
（15分）已知集合，或.
（1）若A为非空集合，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，若，则，此时，不满足；
若，则或，当时，，满足，
当时，，不满足.
综上可知，.故选B.
2.答案：B
解析：，
，
.
和都表示被3除余1的数，而表示被6除余1的数，.
故选B.
3.答案：A
解析：∵当时,,∴成立等价于.又可推出,不能推出,∴“”是“成立”的充分不必要条件.故选A.
4.答案：C
解析：因为全称命题的否定是特称命题
所以命题”的否定是
5.答案：C
解析：因为所以在恒成立,
即命题是真命题的充要条件是依题意，命题是真命题的一个充分不必要条件即在题中所给四个选项中选择真子集，
故选答案C.
6.答案：D
解析：因为，所以，
所以
,
当且仅当且，即，时，等号成立，所以的最小值为.
7.答案：B
解析：不等式有解，
,,,且,,当且仅当,即时取等号，,,即,
解得或,故实数m的取值范围是.
8.答案：A
解析：因为对一切恒成立，所以原不等式等价于，即对一切实数x恒成立，所以，解得，故实数m的取值范围是.
9.答案：B
解析：当时，不等式恒成立，
当时，若一元二次不等式对一切实数x都成立，
则，
解得，
综上，的取值范围是
10.答案：5
解析：假设①正确，②③错误，则，，，矛盾，故假设不成立；
假设②正确，①③错误，则，，，矛看，故假设不成立；
假设③正确，①②错误，则，，，假设成立，.
综上可知，.
11.答案：254；或
解析：易得.
（1）若，则，
即A中含有8个元素，
的非空真子集的个数为.
（2）①当，即时，，；
②当时，，
因此，要使，
则需
解得.
综上所述，m的取值范围是或.
12.答案：
解析：由命题的否定知,命题“”的否定是“”.
13.答案：
解析：命题“”为假命题，
所以对任意实数，都有，
所以一元二次不等式对应的一元二次方程的判别式，
，即实数的取值范围是.
故答案为：.
14.答案：
解析：,,,,,
当且仅当时，等号成立，
则的最小值为.
15.答案：
解析：常数，若对一切正实数x都成立，则.又因为，当且仅当，即时，等号成立，所以必有，解得.
16.答案：（1）证明：任取，且，则,
，
,,,
即，故在上是增函数.
（2）由（1）可知，在区间上是增函数，
,
即,解得.
17.答案：（1）若，则有，
解得，
故实数a的取值范围为.
（2）若，则有如下几种情况：
①当时，即，解得；
②当时，则
或解得.
综上可得，时，实数a的取值范围为.