第三章 圆锥曲线的方程 章末测试题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word版，含解析）

2021-2022人教A版（2019）高二数学选修一
第三章章末测试题
一、单选题
1．已知椭圆对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，该椭圆的一焦点坐标为且过点，求该椭圆的长轴长为（
）
A．
B．
C．
D．
2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．某椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点，，则关于该图形判断正确的是（
）
A．焦点在x轴上的双曲线
B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的椭圆
4．已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．抛物线上一点到焦点F的距离为3，则p值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（
）
A．(6，＋∞)
B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
7．已知为坐标原点，是椭圆：()的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
9．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（
）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0)?(-2,0)
B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为
D．
10．已知，为双曲线C：x2–=1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P，使得PF1⊥PF2，直线PF2与y轴交于点Q，连接QF1，△PQF1，的内切圆圆心为I，则下列结论正确的有（
）
A．F1，F2，P，I四点共圆
B．△PQF1的内切圆半径为1
C．I为线段OQ的三等分点
D．PF1与其中一条渐近线垂直
11．已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点．当点在圆上运动时，下列判断正确的是（
）
A．当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆；
B．点的轨迹可能是一个定点；
C．点的轨迹可能是抛物线．
D．当点在圆外时，点的轨迹是双曲线的一支
12．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是（
）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
三、填空题
13．已知，分别为椭圆的左?右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________.
14．已知双曲线的离心率是，则双曲线的右焦点坐标为_________．
15．已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点A，且满足，设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为________．
16．如图，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是_______.
四、解答题
17．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与椭圆C交于A，B两点.若的周长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆中以为中点的弦所在直线方程.
18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；
19．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线上的点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，且.求△OPQ面积的最小值.
20．如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点.
（1）若点在第一象限，且直线,相互垂直，求圆的方程；
（2）若直线,的斜率存在，并记为、，求的值.
21．已知抛物线上一点到其焦点的距离为10.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
由椭圆的一焦点坐标为，则另一焦点为，由又椭圆过点,根据椭圆的定义可得答案.
【详解】
由椭圆的一焦点坐标为，可得所求椭圆焦点在轴上，
设所求椭圆方程为：，
则椭圆的另一焦点为，又椭圆过点
由椭圆的定义可得：
故选：C
2．C
【分析】
根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及离心率为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.
【详解】
由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，
即，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：C.
3．B
【分析】
根据椭圆与双曲线的标准方程，设出方程，求得相应的的值，结合圆锥曲线的标准方程，即可判定，得到答案.
【详解】
由题意，椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点，，
当对应的图形为椭圆时，可设椭圆的方程为，
可得，解得，不符合题意；
当对应的图形为双曲线时，可设双曲线的方程为，
可得，解得，即，表示焦点在y轴上的双曲线.
故选：B.
4．C
【分析】
已知渐近线方程，可直接设含参的双曲线方程，然后代点确定参数即可
【详解】
解析：根据渐近线方程，可设双曲线的方程为，将点代入得，则的方程为
故选：C．
5．D
【分析】
由抛物线的定义可知，，与已知条件结合，求解的值．
【详解】
解：由抛物线的定义可知，，
，
，所以，
故选：．
6．D
【分析】
抛物线的焦点到顶点的距离为3求得，又抛物线上的点到准线的距离的最小值为可得答案．
【详解】
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴，即，
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为．
故选：D.
7．A
【分析】
由，，，利用，两次应用平行线性质求得出的关系式，从而求得离心率．
【详解】
如图，由题意得、、，
设，由得，则①，
又由，中点为，得，则②，
由①②得，即，则，
故选：A.
8．C
【分析】
设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.
【详解】
根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，代入得：.
由根与系数的关系得，，
所以.
又直线CD的方程为，同理，
所以，
所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得.
所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.
9．BCD
【分析】
根据椭圆方程可直接判断A、B的正误，设直线为，，，且，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求，即可判断C、D的正误.
【详解】
A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】
根据双曲线的定义可得，，由双曲线的对称性可判断A；由双曲线的定义可判断B；根据可判断C、D.
【详解】
解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：，
对于A：易知在轴上，由对称性可得，
则，可知，，，四点共于以为直径的圆上；A正确
对于B：
，正确
对于C：，
故为中点，C错误．D显然正确．
故选：ABD
11．ABD
【分析】
根据点所在的位置分类讨论，结合椭圆、抛物线、双曲线的定义判断即可；
【详解】
解：对A，如图1，连接，
由已知得．
所以．
又因为点在圆内，所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆．
对B，如图2，
当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点；
对C，由于当点与圆心重合时，点的轨迹为圆，综合，，可知点的轨迹不可能为抛物线．
对D，如图3，连接，
由已知得．
所以．
又因为点在圆外，所以，
根据双曲线的定义，点的轨迹是以，为焦点，为实轴长的双曲线．
故选：ABD．
12．ABD
【分析】
根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，正确；
，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误.
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.
故选：.
13．
【分析】
由题意画出图形，设，由余弦定理求得，再由椭圆定义求解与的关系，在中，再由余弦定理列式求得椭圆的离心率.
【详解】
如图,设又
,
由椭圆定义知,
,可得：即，
在中,由余弦定理可得,
，即.
即,解得:.
故答案为:
14．
【分析】
根据离心率计算得到双曲线，即可得到答案；
【详解】
双曲线离心率是，
，
，
双曲线的右焦点坐标为，
故答案为：
15．
【分析】
由可得点在准线上，则可得，可得抛物线的方程为，所以，从而可求出直线方程为，然后直线方程与抛物线方程联立可求出点的纵坐标
【详解】
由题意可知，因为，所以点在准线上，
又因为准线方程为，所以，即，
所以抛物线的方程为，
因为点坐标为，所以，故直线方程为，
联立得，
解得（舍）或，故点纵坐标为．
故答案为：
16．
【分析】
求出抛物线的焦点，准线方程为，三角形周长转化为，求出范围可解.
【详解】
抛物线的焦点，准线方程为，
圆的圆心，
三角形周长为：
周长的取值范围是
故答案为：
【点睛】
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知得，解得，又，可得，进而可得答案．
（2）根据题意得中点弦的斜率存在，，，，，则，，两式作差，化简可得斜率，即可得出答案．
【详解】
解：（1）由已知得，则，
又由，可得，
所以椭圆方程为．
（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，
设，，，，
所以，，
两式作差，得，
所以，
所以，
所以，
所以中点弦的方程为，
所求的直线方程．
18．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据离心率设出方程，代入点的坐标可得解.
（2）将点代入所求方程可得，再用向量的坐标形式求数量积即可，
【详解】
（1）∵，
∴双曲线的实轴、虚轴相等.
则可设双曲线方程为
∵双曲线过点，
∴，即.
∴双曲线方程为..
（2）证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则，.
∴，
∵M点在双曲线上，
∴，即，
∴·.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线的定义列方程，由此求得，进而求得抛物线方程.
（2）联立直线的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合求得的值，求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.
【详解】
（1）依题意.
（2）与联立得，，得
，
又，又m>0，m=4.
且，
，当k=0时，S最小，最小值为.
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）过做，，垂直分别为、，连，根据直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，得到，即，再根据点R在椭圆C上，即，两式联立求解即可得出结果；（2）设直线、的方程分别为、，由题意可得，，化简整理可转化为把、看作关于的一元二次方程的两个根，利用韦达定理和已知条件即可得解.
【详解】
（1）过做，，垂直分别为、，连，
由圆R的方程知圆R的半径，
因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
则四边形为正方形，
则，
则，
又，
又∵点在第一象限，则，，
解得，，
∴圆的方程为；
（2）设直线、的方程分别为、，
∵直线、与圆都相切，
∴，，
两式两边同时平方可得，
，
展开化简得：，
，
、可以看作关于的一元二次方程的两个根，
则，
又∵点在椭圆上，则，
化简得，
∴.
21．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到，即可求出，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线的斜率一定存在，可设斜率为，直线为，设，，由可得，，，然后对求导，可得到的斜率及方程表达式，进而可表示出，同理可得到的表达式，然后对化简可求出范围．
【详解】
解：（Ⅰ）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.
∵抛物线的准线为，∴，
解得，∴抛物线的方程为.
（Ⅱ）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.
设，，由消去得，，
∴，.
由于抛物线也是函数的图象，且，则：.
令，解得，∴，从而.
同理可得，，
∴
.
∵，∴的取值范围为.
试卷第2页，总2页