第二章 推理与证明测试
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高二数学（文）推理与证明 测试
一 选择题（答案唯一 每小题5分，共60分）
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的 （ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件
2. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 ( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
3.下面几种推理是合情推理的是 ( )
（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；
（2）由平行四边形、梯形内角和是，归纳出所有四边形的内角和都是；
（3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；
（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）
4.下面使用类比推理正确的是 （ ）
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若” 类推出“ （c≠0）”
D.“” 类推出“”
5.已知向量, ,且, 则由的值构成的集合是 ( )
A.{2,3} B. {-1, 6} C. {2} D. {6}
6.设，，n∈N，则 ( )
A. B.－ C. D.－
7.下面的四个不等式：①；②；③ ；④.其中不成立的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8．函数f（x）在［－1，1］上满足f（－x）＝－f（x）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是 ( )
A．f（sinα）＞f（sinβ） B． f（cosα）＞f（sinβ）
C．f（cosα）＜f（cosβ） D． f（sinα）＜f（sinβ）
9.若，且，则和的值满足 （ ）
A.和中至少有一个小于2 B. 和都小于2
C．和都大于2 D.不确定
10．正整数按下表的规律排列
则上起第2005行，左起第2006列
的数应为
A．
B．
C．
D．
（ ）
11.在中，内角的对边分别为，若则三角形 ( )
A只能是等边三角形 B只能是直角三角形
C是等腰三角形 D是等腰三角形或直角三角形
12. 设椭圆的中心在坐标原点，左焦点在轴负半轴上，为右顶点，为上顶点，当时，其离心率为，称此类椭圆为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率等于. ( )
A. B. C. D.
二 填空题（每小题5分）
13.从，,，，…,推广到第个等式为_________________________.
14.平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不共点的直线把平面分成7部分， n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成____ ___部分.
15.对于任意整数，函数满足，若，那么的值为_____________.
16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第个图有个树枝，则与之间的关系是 _______________．
三 解答题（共70分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数，求的最大值.（10分）
18.已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．(12分)
19.证明：如果，那么.（12分）
20.已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：+=（12分）
21.观察以下各等式：
，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.（12分）
22．(12分) 在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB的平分线，则＝.其证明过程：
作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F
∵CE是∠ACB的平分线， ∴EG＝EH.
又∵＝＝， ＝＝， ∴＝.
（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是
（Ⅱ）证明你所得到的结论.
高二数学（文）推理与证明 测试 参考答案
1-5 AACCC 6-10 DABAD 11-12 DA
13.…
14. 15.19 16.
17.提示：用求导的方法可求得的最大值为0
18．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，且，则数列也是等差数列．
证明如下：
设等差数列的公差为，则，
（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
19.假设，则
容易看出，下面证明.
要证：，
只需证：，
只需证：
上式显然成立，故有.
综上，.而这与已知条件相矛盾，
因此假设不成立，也即原命题成立.
20.(分析法) 要证 +=
需证: +=3
即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c)
即证:c2+a2=ac+b2
因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB
即b2= c2+a2-ca 所以c2+a2=ac+b2
因此 +=
21.猜想：. （6分）
证明：
22．结论: ＝或＝或＝
证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.
又∵＝＝
＝＝＝
∴＝
1 2 5 10 17
4 3 6 11 18
9 8 7 12 19
16 15 14 13 20
25 24 23 22 21
A
G
F
E
B H C
图1
A
C
E
B
D
图2
F
h2
h1
A
G
F
E
B H C
图1
A
C
E
B
D
图2
F
h2
h1
一 选择题（答案唯一 每小题5分，共60分）
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的 （ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件
2. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 ( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
3.下面几种推理是合情推理的是 ( )
（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；
（2）由平行四边形、梯形内角和是，归纳出所有四边形的内角和都是；
（3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；
（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）
4.下面使用类比推理正确的是 （ ）
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若” 类推出“ （c≠0）”
D.“” 类推出“”
5.已知向量, ,且, 则由的值构成的集合是 ( )
A.{2,3} B. {-1, 6} C. {2} D. {6}
6.设，，n∈N，则 ( )
A. B.－ C. D.－
7.下面的四个不等式：①；②；③ ；④.其中不成立的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8．函数f（x）在［－1，1］上满足f（－x）＝－f（x）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是 ( )
A．f（sinα）＞f（sinβ） B． f（cosα）＞f（sinβ）
C．f（cosα）＜f（cosβ） D． f（sinα）＜f（sinβ）
9.若，且，则和的值满足 （ ）
A.和中至少有一个小于2 B. 和都小于2
C．和都大于2 D.不确定
10．正整数按下表的规律排列
则上起第2005行，左起第2006列
的数应为
A．
B．
C．
D．
（ ）
11.在中，内角的对边分别为，若则三角形 ( )
A只能是等边三角形 B只能是直角三角形
C是等腰三角形 D是等腰三角形或直角三角形
12. 设椭圆的中心在坐标原点，左焦点在轴负半轴上，为右顶点，为上顶点，当时，其离心率为，称此类椭圆为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率等于. ( )
A. B. C. D.
二 填空题（每小题5分）
13.从，,，，…,推广到第个等式为_________________________.
14.平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不共点的直线把平面分成7部分， n条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成____ ___部分.
15.对于任意整数，函数满足，若，那么的值为_____________.
16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第个图有个树枝，则与之间的关系是 _______________．
三 解答题（共70分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数，求的最大值.（10分）
18.已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．(12分)
19.证明：如果，那么.（12分）
20.已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：+=（12分）
21.观察以下各等式：
，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.（12分）
22．(12分) 在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB的平分线，则＝.其证明过程：
作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F
∵CE是∠ACB的平分线， ∴EG＝EH.
又∵＝＝， ＝＝， ∴＝.
（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是
（Ⅱ）证明你所得到的结论.
高二数学（文）推理与证明 测试 参考答案
1-5 AACCC 6-10 DABAD 11-12 DA
13.…
14. 15.19 16.
17.提示：用求导的方法可求得的最大值为0
18．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，且，则数列也是等差数列．
证明如下：
设等差数列的公差为，则，
（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
19.假设，则
容易看出，下面证明.
要证：，
只需证：，
只需证：
上式显然成立，故有.
综上，.而这与已知条件相矛盾，
因此假设不成立，也即原命题成立.
20.(分析法) 要证 +=
需证: +=3
即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c)
即证:c2+a2=ac+b2
因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB
即b2= c2+a2-ca 所以c2+a2=ac+b2
因此 +=
21.猜想：. （6分）
证明：
22．结论: ＝或＝或＝
证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.
又∵＝＝
＝＝＝
∴＝
1 2 5 10 17
4 3 6 11 18
9 8 7 12 19
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图1
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图2
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图1
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