八年级数学勾股定理的逆定理
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(共25张PPT)
回顾直角三角形的性质
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角互余 ；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方 ；
(4)在直角三角形中, 如果有一个锐角是30°,那么它
所对的直角边是斜边的一半 ；
(5)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°；
反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢
思考:
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
(3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a2 +b 2=c2 ,
那么这个三角形是直角三角形
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距的结巴一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处。
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．满足关系: 32＋42＝52．那么围成的三角形是直角三角形．
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 。
a2 + b2 = c2
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
求证：∠C=900
证明：作RT△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
则△ABC≌ △A′B′C′
∴∠C=900
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较少边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形
(1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
解:(1)最大边为17
∵152+82=225+64 =289
172 =289
∴152+82 =172
∴以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形
(2)最大边为15
∵132+142=169+196=365
152 =225
∴132+ 142 ≠ 152
∴以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形
像15,17,8,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;
(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的立方相等．
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
(5)对顶角相等
练:说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
逆命题:如果两个实数的立方相等，那么这两个实数相等. 成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
逆命题:相等的两个角是对顶角. 不成立
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
练习3：
1、小蒋要求△ABC的的最长边上的高，测得AB=8cm，
AC=6cm，BC=10cm。则可知最长边上的高_______
4.8cm
2. 满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )
A.b2=a2-c2 B. a:b:c=3:4:5
C.∠C=∠A-∠B D. ∠A:∠B : ∠C =3:4:5
D
3.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )
A. 5,6,7 B. 32,42,52 C. 5,11,12 D. 5,12,13
D
4.若一个三角形的三边长分别为: 32, 42, x2 ,则此三角形是
直角三角形的x2的值是_____________
5.求证：m2－n2，m2＋n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长。
B
A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、等边三角形
△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
是直角三角形吗？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积
A
B
C
D
中考链接
S四边形ABCD=36
一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件
中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个
零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗
此时四边形ABCD
的面积是多少
6. 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断△ABC的形状.
已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,
CD=7,AD=24, ∠B=90°
求证:∠A+∠C=180°
A
B
C
D
20
15
7
24
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC=
CD= DE=3,求证:AD⊥CD
A
B
C
D
4
E
3
60°
60°
思考题
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
E
N
R
Q
S
P
解:根据题意画图,如图所示:
PQ=16×1.5=24
PR=12×1.5=18
QR=30
∵242+182=302,
即 PQ2+PR2=QR2
∴∠QPR=900
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠QPS=450.所以∠RPS=450,
即“海天”号沿西北方向航行.
R’
或东南方向
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∴△ABC是直角三角形
7. 阅读下列解题过程: 已知a，b，c为△ABC的三边,且
满足a2c2-b2c2=a4-b4, 试判断△ABC的形状.
解∵ a2c2-b2c2=a4-b4 ①
∴ (a2-b2)c2=(a2+b2)(a2-b2) ②
∴ c2=a2+b2 ③
∴ △ABC是直角三角形
问:上述解题过程,从哪一步开始出现错误 请写出该步的序号:______,错误的原因为:______________;本题正确的结论
是______________________
③
a2-b2可能为0
直角三角形或等腰三角形
8.已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，
BC边上的中线AD＝12cm．
求证：AB＝AC．
活动与探究
给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，
152＋82＝172，242＋102＝262．…
(1)你能发现上面式子的规律吗 请你用发现的规律，给
出第5个式子；
(2)请你证明你所发现的规律．
9.已知：在△ABC中，AB＝AC=26, 点D是AC上一点,
CD=2，BD＝10.
求： △ABC的面积 ．
在RtΔABC中,AC=BC,点PA是三角形内一点,PA=3,PB=1,PC=2,
求证:∠BPC=135°
A
B
C
P
P’
(A)
在一根长为180个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60个单位、45个单位和75个单位的三段线段。
自己握住绳子的两个端点（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C点，一起将绳子拉直，会得到一根什么形状？为什么？
自主评价：
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题
3、什么称为互为逆定理。
回顾直角三角形的性质
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角互余 ；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方 ；
(4)在直角三角形中, 如果有一个锐角是30°,那么它
所对的直角边是斜边的一半 ；
(5)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°；
反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢
思考:
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
(3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a2 +b 2=c2 ,
那么这个三角形是直角三角形
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距的结巴一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处。
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．满足关系: 32＋42＝52．那么围成的三角形是直角三角形．
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 。
a2 + b2 = c2
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
求证：∠C=900
证明：作RT△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
则△ABC≌ △A′B′C′
∴∠C=900
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较少边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形
(1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
解:(1)最大边为17
∵152+82=225+64 =289
172 =289
∴152+82 =172
∴以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形
(2)最大边为15
∵132+142=169+196=365
152 =225
∴132+ 142 ≠ 152
∴以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形
像15,17,8,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;
(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的立方相等．
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
(5)对顶角相等
练:说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
逆命题:如果两个实数的立方相等，那么这两个实数相等. 成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
逆命题:相等的两个角是对顶角. 不成立
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
练习3：
1、小蒋要求△ABC的的最长边上的高，测得AB=8cm，
AC=6cm，BC=10cm。则可知最长边上的高_______
4.8cm
2. 满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )
A.b2=a2-c2 B. a:b:c=3:4:5
C.∠C=∠A-∠B D. ∠A:∠B : ∠C =3:4:5
D
3.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )
A. 5,6,7 B. 32,42,52 C. 5,11,12 D. 5,12,13
D
4.若一个三角形的三边长分别为: 32, 42, x2 ,则此三角形是
直角三角形的x2的值是_____________
5.求证：m2－n2，m2＋n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长。
B
A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、等边三角形
△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
是直角三角形吗？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积
A
B
C
D
中考链接
S四边形ABCD=36
一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件
中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个
零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗
此时四边形ABCD
的面积是多少
6. 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断△ABC的形状.
已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,
CD=7,AD=24, ∠B=90°
求证:∠A+∠C=180°
A
B
C
D
20
15
7
24
如图BE⊥AE, ∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC=
CD= DE=3,求证:AD⊥CD
A
B
C
D
4
E
3
60°
60°
思考题
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
E
N
R
Q
S
P
解:根据题意画图,如图所示:
PQ=16×1.5=24
PR=12×1.5=18
QR=30
∵242+182=302,
即 PQ2+PR2=QR2
∴∠QPR=900
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠QPS=450.所以∠RPS=450,
即“海天”号沿西北方向航行.
R’
或东南方向
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∴△ABC是直角三角形
7. 阅读下列解题过程: 已知a，b，c为△ABC的三边,且
满足a2c2-b2c2=a4-b4, 试判断△ABC的形状.
解∵ a2c2-b2c2=a4-b4 ①
∴ (a2-b2)c2=(a2+b2)(a2-b2) ②
∴ c2=a2+b2 ③
∴ △ABC是直角三角形
问:上述解题过程,从哪一步开始出现错误 请写出该步的序号:______,错误的原因为:______________;本题正确的结论
是______________________
③
a2-b2可能为0
直角三角形或等腰三角形
8.已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，
BC边上的中线AD＝12cm．
求证：AB＝AC．
活动与探究
给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，
152＋82＝172，242＋102＝262．…
(1)你能发现上面式子的规律吗 请你用发现的规律，给
出第5个式子；
(2)请你证明你所发现的规律．
9.已知：在△ABC中，AB＝AC=26, 点D是AC上一点,
CD=2，BD＝10.
求： △ABC的面积 ．
在RtΔABC中,AC=BC,点PA是三角形内一点,PA=3,PB=1,PC=2,
求证:∠BPC=135°
A
B
C
P
P’
(A)
在一根长为180个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60个单位、45个单位和75个单位的三段线段。
自己握住绳子的两个端点（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C点，一起将绳子拉直，会得到一根什么形状？为什么？
自主评价：
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题
3、什么称为互为逆定理。