2020-2021学年华东师大版八年级数学上册13.5 逆命题与逆定理同步习题（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年华东师大版八年级数学上册13.5 逆命题与逆定理同步习题（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-04 18:12:14 | ||
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文档简介
《13.5
逆命题与逆定理》同步习题2020-2021年数学华东师大版八（上）
一．选择题（共10小题）
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中
A．两锐角都大于
B．有一个锐角小于
C．有一个锐角大于
D．两锐角都小于
2．下列说法：
①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”．
其中，正确的说法有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下列说法：
①到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
②三角形三条角平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；
③“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是真命题；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于．
其中正确的结论有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．用反证法证明“若，，则”时应假设
A．
B．，
C．与相交
D．与不平行，与不平行
5．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中
A．至少有两个内角是直角
B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角
D．每一个内角都不是直角
6．用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设
A．
B．
C．
D．
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中每个内角都大于
D．三角形中没有一个内角小于
8．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时应假设
A．三角形中有一个内角小于或等于
B．三角形中有两个内角小于或等于
C．三角形中有三个内角小于或等于
D．三角形中没有一个内角小于或等于
9．用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于”，我们应该假设
A．四个角都小于
B．最多有一个角大于或等于
C．有两个角小于
D．四个角都大于或等于
10．用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应该假设这个三角形中
A．有一个内角小于
B．有一个内角大于
C．每一个内角都小于
D．每一个内角都大于
二．填空题（共9小题）
11．命题：多边形中最多有3个锐角，若用反证法证明这个命题，应首先假设 ．
12．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 ．
13．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设： ．
14．用反证法证明“若，则”是真命题，第一步应先假设 ．
15．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
16．用反证方法证明“在中，，则必为锐角”的第一步是假设 ．
17．证明命题“直角三角形中的两个锐角中至少有一个角不小于”时，如果用反证法证明，应先假设 ．
18．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于
“，应假设 ．
19．用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设 ．
三．解答题（共10小题）
20．用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
21．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的一个外角．
求证：．
22．证明：在中，，，中至少有一个角大于或等于．
23．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．
已知：，，是的内角．求证：，，中至少有一个内角小于或等于．
证明：假设求证的结论不成立，那么
这与三角形
相矛盾．
假设不成立
．
24．用反证法证明（填空）
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线，被所截，．
求证：
证明：假设 ，即与相交于一点．
则
所以 ，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
25．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在中，．求证：，必为锐角．
26．用反证法证明“”，求证：必为负数．
证明：假设不是负数，那么是 或是 ．
（1）如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零；
（2）如果是 ，那么，这与 矛盾，所以不可能是 ．
综合（1）和（2），知不可能是 ，也不可能是 ．所以必为负数．
27．用反证法证明：若，，是的三个内角，则其中至少有一个角不大于．
28．用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于．
29．设，，是不全相等的任意实数，若，，．求证：，，至少有一个大于零．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中两锐角都大于，
故选：．
2．解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题说法错误；
②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本小题说法错误；
③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，本小题说法正确；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”，本小题说法正确；
故选：．
3．解：①到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，本小题说法正确；
②三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，故本小题说法错误；
③“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是等腰三角形有两边相等真命题，本小题说法正确；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于，本小题说法正确；
故选：．
4．解：求证：，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发，
第一步应假设与不平行，则与相交．
故选：．
5．解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：．
6．解：用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设．
故选：．
7．解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故选：．
8．解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于，
故选：．
9．解：用反证法证明“四边形的四个内角中至少有一个不小于”时第一步应假设：四个角都小于90度．
故选：．
10．解：用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应该假设这个三角形中每一个内角都小于，
故选：．
二．填空题（共9小题）
11．解：用反证法证明“多边形中最多有3个锐角”时第一步应假设：多边形中最少有4个锐角．
故答案是：多边形中最少有4个锐角．
12．解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形．
故答案为这个三角形是等腰三角形．
13．解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：两直线平行，同位角不相等，
故答案为：两直线平行，同位角不相等．
14．解：用反证法证明“若，则．”是真命题时，第一步应先假设：．
故答案为：．
15．证明：假设，
那么，由，得，即，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
16．解：与的大小关系有，，三种情况，
因而的反面是或．
因此用反证法证明“”时，应先假设或．
即一定不是锐角（是直角或钝角）．
17．解：用反证法证明命题“直角三角形中的两个锐角中至少有一个角不小于”时，应先假设每一个锐角都小于，即两个锐角都小于．
故答案为：两个锐角都小于．
18．解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于．
故答案为：三角形的三个内角都小于．
19．解：用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，第一步应假设同一三角形中最多有一个锐角．
故答案为：同一三角形中最多有一个锐角．
三．解答题（共10小题）
20．证明：假设的三个外角中至少有两个直角，
则的三个内角中至少有两个直角，不妨设，
所以，
这与三角形内角和等于相矛盾，
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
21．已知：如图，是的一个外角，
求证：，
证明：假设，
在中，，
，
，
，
，
与假设相矛盾，
假设不成立，
原命题成立即：．
22．证明：假设中每个内角都小于，
则，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设错误，即原结论成立，在中，，，中至少有一个角大于或等于．
23．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于，
，
这与三角形的三内角和为相矛盾．
假设不成立，
三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
故答案为：三角形中所有角都大于；；的三内角和为；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
24．证明：假设不平行，即与相交于一点．
则（三角形内角和定理），
所以，
这与矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，．
25．证明：假设，都不是锐角，即，为直角或钝角，
，
，
当、都是直角时，，
这与三角形内角和定理相矛盾，
当、都是钝角时，，
这与三角形内角和定理相矛盾，
综上所述，假设不成立，
，必为锐角．
26．证明：假设不是负数，那么是正数或是零．
（1）如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零；
（2）如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数．
综合（1）和（2），知不可能是正数，也不可能是零．所以必为负数．
故答案为：（1）正数；零；（2）正数；题设；正数；正数；零．
27．证明：假设中每个内角都大于，
则，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设错误，即原结论成立，在中，，，中至少有一个角不大于．
28．证明：假设三角形中没有一个内角大于或等于，
则这个三角形的内角和小于，与三角形内角和定理矛盾，
故假设不成立，原命题正确．
29．解：假设，，都小于零，
则，
，
，
这与偶次方的非负性相矛盾，
假设不成立，
，，至少有一个大于零．
逆命题与逆定理》同步习题2020-2021年数学华东师大版八（上）
一．选择题（共10小题）
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中
A．两锐角都大于
B．有一个锐角小于
C．有一个锐角大于
D．两锐角都小于
2．下列说法：
①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”．
其中，正确的说法有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下列说法：
①到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
②三角形三条角平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；
③“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是真命题；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于．
其中正确的结论有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．用反证法证明“若，，则”时应假设
A．
B．，
C．与相交
D．与不平行，与不平行
5．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中
A．至少有两个内角是直角
B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角
D．每一个内角都不是直角
6．用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设
A．
B．
C．
D．
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设
A．三角形中有一个内角小于
B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中每个内角都大于
D．三角形中没有一个内角小于
8．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时应假设
A．三角形中有一个内角小于或等于
B．三角形中有两个内角小于或等于
C．三角形中有三个内角小于或等于
D．三角形中没有一个内角小于或等于
9．用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于”，我们应该假设
A．四个角都小于
B．最多有一个角大于或等于
C．有两个角小于
D．四个角都大于或等于
10．用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应该假设这个三角形中
A．有一个内角小于
B．有一个内角大于
C．每一个内角都小于
D．每一个内角都大于
二．填空题（共9小题）
11．命题：多边形中最多有3个锐角，若用反证法证明这个命题，应首先假设 ．
12．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 ．
13．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设： ．
14．用反证法证明“若，则”是真命题，第一步应先假设 ．
15．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
16．用反证方法证明“在中，，则必为锐角”的第一步是假设 ．
17．证明命题“直角三角形中的两个锐角中至少有一个角不小于”时，如果用反证法证明，应先假设 ．
18．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于
“，应假设 ．
19．用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设 ．
三．解答题（共10小题）
20．用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
21．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的一个外角．
求证：．
22．证明：在中，，，中至少有一个角大于或等于．
23．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．
已知：，，是的内角．求证：，，中至少有一个内角小于或等于．
证明：假设求证的结论不成立，那么
这与三角形
相矛盾．
假设不成立
．
24．用反证法证明（填空）
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线，被所截，．
求证：
证明：假设 ，即与相交于一点．
则
所以 ，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
25．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在中，．求证：，必为锐角．
26．用反证法证明“”，求证：必为负数．
证明：假设不是负数，那么是 或是 ．
（1）如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零；
（2）如果是 ，那么，这与 矛盾，所以不可能是 ．
综合（1）和（2），知不可能是 ，也不可能是 ．所以必为负数．
27．用反证法证明：若，，是的三个内角，则其中至少有一个角不大于．
28．用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于．
29．设，，是不全相等的任意实数，若，，．求证：，，至少有一个大于零．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中两锐角都大于，
故选：．
2．解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题说法错误；
②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本小题说法错误；
③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，本小题说法正确；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”，本小题说法正确；
故选：．
3．解：①到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，本小题说法正确；
②三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，故本小题说法错误；
③“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是等腰三角形有两边相等真命题，本小题说法正确；
④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于，本小题说法正确；
故选：．
4．解：求证：，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发，
第一步应假设与不平行，则与相交．
故选：．
5．解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：．
6．解：用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设．
故选：．
7．解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故选：．
8．解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，
第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于，
故选：．
9．解：用反证法证明“四边形的四个内角中至少有一个不小于”时第一步应假设：四个角都小于90度．
故选：．
10．解：用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应该假设这个三角形中每一个内角都小于，
故选：．
二．填空题（共9小题）
11．解：用反证法证明“多边形中最多有3个锐角”时第一步应假设：多边形中最少有4个锐角．
故答案是：多边形中最少有4个锐角．
12．解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形．
故答案为这个三角形是等腰三角形．
13．解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：两直线平行，同位角不相等，
故答案为：两直线平行，同位角不相等．
14．解：用反证法证明“若，则．”是真命题时，第一步应先假设：．
故答案为：．
15．证明：假设，
那么，由，得，即，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
16．解：与的大小关系有，，三种情况，
因而的反面是或．
因此用反证法证明“”时，应先假设或．
即一定不是锐角（是直角或钝角）．
17．解：用反证法证明命题“直角三角形中的两个锐角中至少有一个角不小于”时，应先假设每一个锐角都小于，即两个锐角都小于．
故答案为：两个锐角都小于．
18．解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于．
故答案为：三角形的三个内角都小于．
19．解：用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，第一步应假设同一三角形中最多有一个锐角．
故答案为：同一三角形中最多有一个锐角．
三．解答题（共10小题）
20．证明：假设的三个外角中至少有两个直角，
则的三个内角中至少有两个直角，不妨设，
所以，
这与三角形内角和等于相矛盾，
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
21．已知：如图，是的一个外角，
求证：，
证明：假设，
在中，，
，
，
，
，
与假设相矛盾，
假设不成立，
原命题成立即：．
22．证明：假设中每个内角都小于，
则，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设错误，即原结论成立，在中，，，中至少有一个角大于或等于．
23．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于，
，
这与三角形的三内角和为相矛盾．
假设不成立，
三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
故答案为：三角形中所有角都大于；；的三内角和为；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
24．证明：假设不平行，即与相交于一点．
则（三角形内角和定理），
所以，
这与矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，．
25．证明：假设，都不是锐角，即，为直角或钝角，
，
，
当、都是直角时，，
这与三角形内角和定理相矛盾，
当、都是钝角时，，
这与三角形内角和定理相矛盾，
综上所述，假设不成立，
，必为锐角．
26．证明：假设不是负数，那么是正数或是零．
（1）如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零；
（2）如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数．
综合（1）和（2），知不可能是正数，也不可能是零．所以必为负数．
故答案为：（1）正数；零；（2）正数；题设；正数；正数；零．
27．证明：假设中每个内角都大于，
则，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设错误，即原结论成立，在中，，，中至少有一个角不大于．
28．证明：假设三角形中没有一个内角大于或等于，
则这个三角形的内角和小于，与三角形内角和定理矛盾，
故假设不成立，原命题正确．
29．解：假设，，都小于零，
则，
，
，
这与偶次方的非负性相矛盾，
假设不成立，
，，至少有一个大于零．