2.1从位移、速度、力到向量同步练习2020-2021学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册（Word含答案）

从位移、速度、力到向量
1．下列物理量中，不是向量的是(　　)
A．力　　　　　
B．位移
C．质量
D．速度
2．下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
3．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A．与
B．与
C．与
D．与
4．已知向量a与b是两个不平行的向量，若a∥c且b∥c，则c等于(　　)
A．0
B．a
C．b
D．不存在这样的向量
5．下列说法中正确的个数是(　　)
(1)单位向量都平行；
(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
(4)有相同起点的两个非零向量不平行；
(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2
B．3
C．4
D．5
6．在正△ABC中，与的夹角等于________．
7．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．
8．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)．
9．如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
10．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
11．下列说法中，正确的是(　　)
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量．
A．①④
B．③
C．①②③
D．②③
12．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　)
A．不共线
B．长度不相等
C．不都是单位向量
D．不都是零向量
13．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中错误的是(　　)
A．CA
B．A∩B＝{a}
C．CB
D．A∩B{a}
14．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
15．如图，在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
答案
1．下列物理量中，不是向量的是(　　)
A．力　　　　　
B．位移
C．质量
D．速度
[答案]　C
2．下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
[答案]　D
3．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A．与
B．与
C．与
D．与
D　[∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴＝.]
4．已知向量a与b是两个不平行的向量，若a∥c且b∥c，则c等于(　　)
A．0
B．a
C．b
D．不存在这样的向量
A　[零向量与任一向量是共线向量，故c＝0.]
5．下列说法中正确的个数是(　　)
(1)单位向量都平行；
(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
(4)有相同起点的两个非零向量不平行；
(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2
B．3
C．4
D．5
A　[(1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．
(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．
(3)正确．因为零向量与任一向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．
(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．]
6．在正△ABC中，与的夹角等于________．
[答案]　120°
7．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．
菱形　[由＝可知四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，该四边形为菱形．]
8．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)．
①③④　[相等向量一定是共线向量，①能使a∥b成立；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b成立；零向量与任一向量平行，④成立．]
9．如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
[解]　(1)∵四边形ABDE和四边形ABCD都是平行四边形，
∴＝，＝，
∴＝.
故与向量相等的向量是，.
(2)由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.
10．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
[解]　由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
11．下列说法中，正确的是(　　)
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量．
A．①④
B．③
C．①②③
D．②③
B　[①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
②错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．
③正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．
④错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．]
12．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　)
A．不共线
B．长度不相等
C．不都是单位向量
D．不都是零向量
D　[若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．]
13．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中错误的是(　　)
A．CA
B．A∩B＝{a}
C．CB
D．A∩B{a}
B　[A∩B含有a的相反向量，所以B错误．]
14．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
2　[易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.]
15．如图，在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
[证明]　∵＝，
∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB．又∵与的方向相同，
∴＝.∵＝，∴四边形CNAM是平行四边形，
∴＝.
∵||＝||，||＝||，
∴||＝||.
∵DN∥MB且与的方向相同，
∴＝.