2.3.1向量的数乘运算同步练习2020-2021学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册第二章（Word含答案解析）

向量的数乘运算
1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)
A．－a　　　　　　
B．－4b
C．c
D．a－b
2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝(　　)
A．b＋c
B．c－b
C．b－c
D．b＋c
3．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于(　　)
A．
B．
C．2
D．
4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝(　　)
A．4e2
B．4e1
C．3e1＋6e2
D．8e2
5．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(　　)
A．
B．
C．
D．
7．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)
8．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于________．
9．如图，四边形ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)；(2).
10．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
11．设D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　　)
A．
B．
C．
D．
12．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
13．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．|a|＝|b|且a∥b
B．a＝－b
C．a∥b
D．a＝2b
14．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示.
答案
1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)
A．－a　　　　　　
B．－4b
C．c
D．a－b
A　[3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.]
2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝(　　)
A．b＋c
B．c－b
C．b－c
D．b＋c
A　[∵＝2，∴－＝2(－)，
∴3＝2＋
∴＝＋＝b＋c.]
3．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于(　　)
A．
B．
C．2
D．
C　[作平行四边形ABEC，则M是对角线的交点，故M是AE的中点，由题意知，＋＝＝2，故选C．]
4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝(　　)
A．4e2
B．4e1
C．3e1＋6e2
D．8e2
D　[3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.]
5．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[因为＝－＝－＝3e2－2e1，所以＝＝e2－e1.]
6．4(a－b)－3(a＋b)－b等于________．
a－8b　[原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.]
7．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)
b－a　[＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝b－a.]
8．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于________．
30°　[由＋＋＝0得，＋＝，
结合向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形，又OA＝OB，
则四边形OACB为菱形，
所以△OAC是正三角形，
所以∠CAO＝60°
所以∠CAB＝∠CAO＝30°]
9．如图，四边形ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)；(2).
[解]　因为∥，||＝2||，所以
＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
10．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
[解]　如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，EP是中位线，
所以＝＝a.
在△ABD中，FP是中位线，所以＝＝－＝－b.
在△EFP中，＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b)．
11．设D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[∵D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，
∴＋2＋3
＝＋2＋3
＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝]
12．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
D　[∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，
∴DF＝AB，∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.]
13．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．|a|＝|b|且a∥b
B．a＝－b
C．a∥b
D．a＝2b
D　[由a＝2b，得＝＝＝，故选D．]
14．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.]
15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示.
[解]　连接CD，OD，如图所示．
∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.
由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO.
由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴∠CDA＝∠DAO，
∴CD∥AO，
∴四边形ACDO为平行四边形，
∴＝＋＝＋.