2.4.2平面向量及运算的坐标表示同步练习2020-2021学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册第二章（Word含答案解析）

平面向量及运算的坐标表示
1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)
A．(－7，－4)　　　　
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是(　　)
A．(－4,2)
B．(－4，－2)
C．(4,2)
D．(4，－2)
3．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)
A．(－2，－2)
B．(2,2)
C．(－2,2)
D．(2，－2)
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A．－2,1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1,2
5．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是(　　)
A．
B．
C．
D．
6．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
7．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
8．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，则顶点D的坐标为________．
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)，且＝，＝－，求点C，D和的坐标．
10．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．
(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
11．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
12．若α，β是一组基，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基α，β下的坐标．现已知向量a在基p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　)
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(0,2)
13．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)
A．(2,6)
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
15．如图，已知在△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
答案
1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)
A．(－7，－4)　　　　
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
A　[＝(3,1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．]
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是(　　)
A．(－4,2)
B．(－4，－2)
C．(4,2)
D．(4，－2)
D　[3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(3,0)－(－1,2)＝(3＋1,0－2)＝(4，－2)．]
3．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)
A．(－2，－2)
B．(2,2)
C．(－2,2)
D．(2，－2)
[答案]　D
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A．－2,1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1,2
D　[由解得]
5．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[∵A(4,1)，B(7，－3)，＝(3，－4)，∴与同向的单位向量为＝.]
6．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
　[∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，又∵2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴解得
∴x＋y＝.]
7．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
(3,3)　[法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，
所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，
所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．]
8．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，则顶点D的坐标为________．
(2,2)　[设顶点D的坐标为(x，y)，
∵＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，＝(3,4)－(x，y)＝(3－x,4－y)，
∴由＝，得(1,2)＝(3－x,4－y)，
即，解得
∴平行四边形ABCD顶点D的坐标为(2,2)．]
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)，且＝，＝－，求点C，D和的坐标．
[解]　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
∴＝(－2，－4)．
10．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．
(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
[解]　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A、B、C三点共线，∴∥，
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
∴，解得，
∴点C的坐标为(5，－3)．
11．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
D　[c＝(k,1)，d＝(1，－1)，
由c∥d，得－k－1＝0，∴k＝－1，
∴c＝(－1,1)＝－d，
∴c与d反向．]
12．若α，β是一组基，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基α，β下的坐标．现已知向量a在基p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　)
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(0,2)
D　[∵a在基p，q下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴解得
∴a在基m，n下的坐标为(0,2)．]
13．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)
A．(2,6)
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
D　[由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)
＝(－6＋8－4,18－16－8)＝(－2，－6)．]
14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
－1　[a＋b＝(1，m－1)，
∵(a＋b)∥c，∴1×2－(－1)·(m－1)＝0，∴m＝－1.]
15．如图，已知在△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
[解]　∵＝＝(0,5)＝，∴C.
∵＝＝(4,3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)．
∵＝＝，A，M，D三点共线，
∴设＝λ(λ∈R)，即(x，y－5)＝λ，
∴①
∵＝，＝，C，M，B三点共线，
∴设＝μ(μ∈R)，即＝μ，
∴②
联立①②，解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.