2.4.1平面向量基本定理同步练习2020-2021学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册第二章（Word含答案解析）

平面向量基本定理
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是(　　)
A．①②　　　　
B．①③
C．①④
D．③④
2．在矩形ABCD中，O是其对角线的交点，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
3．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为(　　)
A．＝＋m
B．＝m＋(1－m)
C．＝
D．＝＋
4．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝(　　)
A．(a－b)
B．2b－a
C．(b－a)
D．2b＋a
5．如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝(　　)
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________．
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基；
(2)以a，b为基，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
10．如图所示，P是△ABC内一点，且满足＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：＝2.
11．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　)
A．3
B．4
C．－
D．－
12．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
13．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝m1＋n2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足(　　)
A．m＞0，n＞0
B．m＞0，n＜0
C．m＜0，n＞0
D．m＜0，n＜0
14．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋4＝，则△PBC与△PAB的面积比为________．
15．如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，以a、b为基表示.
答案
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是(　　)
A．①②　　　　
B．①③
C．①④
D．③④
B　[由基的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基．]
2．在矩形ABCD中，O是其对角线的交点，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
A　[＝＝(－)＝(5e1＋3e2)．]
3．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为(　　)
A．＝＋m
B．＝m＋(1－m)
C．＝
D．＝＋
C　[由＝m得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝.]
4．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝(　　)
A．(a－b)
B．2b－a
C．(b－a)
D．2b＋a
B　[如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.]
5．如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[法一：由＝2，＝2，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以＝(＋)，
则＝(＋)，又＝，＝n，
从而＝－＝n－，＝－＝(＋)－＝－，
又点M，P，N共线，
所以存在实数λ，使＝λ成立，即n－＝λ，
又因为，不共线，
所以有，解得n＝，故选A．
法二：设＝λ，∵＝，＝n，
∴＝＋＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋nλ，
又知＝2，∴＝＝＋，
∴
解得λ＝，n＝，故选A．]
6．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
4e1＋3e2　[由题图可知，＝4e1＋3e2.]
7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________．
(－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作为平面内的一组基，则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，
由a≠kb得λ≠4.]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
　[易知＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.]
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基；
(2)以a，b为基，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[解]　(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得
即
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基．
(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴即
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴即
故所求λ、μ的值分别为3和1.
10．如图所示，P是△ABC内一点，且满足＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：＝2.
[证明]　∵＝＋，＝＋，
∴(＋)＋2(＋)＋3＝0，
∴＋3＋2＋3＝0，
又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，
∴＝λ，＝μ，
∴λ＋3＋2＋3μ＝0，
∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.而，为不共线向量，
∴
∴λ＝－2，μ＝－1.
∴＝－＝.
故＝＋＝2.
11．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　)
A．3
B．4
C．－
D．－
B　[因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，
所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，
所以解得故选B．]
12．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.]
13．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝m1＋n2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足(　　)
A．m＞0，n＞0
B．m＞0，n＜0
C．m＜0，n＞0
D．m＜0，n＜0
B　[由题意及平面向量基本定理易得在＝m1＋n2中，m＞0，n＜0.]
14．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋4＝，则△PBC与△PAB的面积比为________．
1∶2　[＋＋4＝＝＋，所以4＝2，即P在AC边上，且AP＝2PC，所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.]
15．如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，以a、b为基表示.
[解]　∵＝＋，＝＋，设＝m，＝n，
则＝＋m＝a＋m＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝(1－n)b＋na.
∵a与b不共线，
∴n＝，m＝，
∴＝a＋b.