2.6.1.3余弦定理与正弦定理的应用同步练习2020-2021学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册第二章（Word含答案解析）

余弦定理与正弦定理的应用
1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的(　　)
A．西偏南44°50′　　　
B．
西偏北45°10′
C．南偏西44°50′
D．
南偏东45°10′
2．如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是(　　)
A．c和α
B．c和b
C．c和β
D．b和α
3．在△ABC中，B＝，BC边上的高为BC，则sin
A等于(　　)
A．
B．
C．
D．
4．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
A．12
m
B．8
m
C．3
m
D．4
m
5．若平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是(　　)
A．和
B．2和2
C．和
D．和
6．在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccos
A＋accos
B＋abcos
C的值为________．
7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．
8．若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度.
10．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2,
AC＝，∠BAD＝60°，求梯形的高．
11．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A．
B．5
C．6
D．7
12．在平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是(　　)
A．16
B．17.5
C．18
D．19.5
13．在△ABC中，A＝105°，B＝30°，a＝，则B的角平分线的长是(　　)
A．
B．2
C．1
D．
14．某班设计了一个八边形的班徽，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形组成．该八边形的面积为(　　)
A．2sin
α－2cos
α＋2
B．sin
α－cos
α＋3
C．3sin
α－cos
α＋1
D．2sin
α－cos
α＋1
15．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．
答案
1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的(　　)
A．西偏南44°50′　　　
B．
西偏北45°10′
C．南偏西44°50′
D．
南偏东45°10′
C　[由方向角的定义知选项C正确．]
2．如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是(　　)
A．c和α
B．c和b
C．c和β
D．b和α
D　[b在岸上比较好测量，α和β任选其一测量即可．]
3．在△ABC中，B＝，BC边上的高为BC，则sin
A等于(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[设BC边上的高AD交BC于点D，AD为x，
又B＝，∴BD＝x，
DC＝2x，则BC＝3x，AC＝x，
由正弦定理得：＝，
则sin∠BAC＝＝＝.]
4．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
A．12
m
B．8
m
C．3
m
D．4
m
D　[由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理，得＝，即AB＝＝＝4.]
5．若平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是(　　)
A．和
B．2和2
C．和
D．和
C　[如图所示，设AB＝，AD＝，∠DAB＝45°，
则在△ABD中，BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos
45°
＝3＋6－2×××＝3，即BD＝，
在△ADC中，AC2＝DA2＋DC2－2×DA×DC×cos
135°
＝3＋6－2×××＝15，即AC＝.]
6．在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccos
A＋accos
B＋abcos
C的值为________．
　[bccos
A＋cacos
B＋abcos
C＝bc·＋ca·＋ab·＝＝＝.]
7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．
21　[设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，
所以cos
C＝＝＝＝，
所以sin
C＝，
故△ABC的面积为×13×14××5002×＝21(平方千米)．]
8．若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．
4　[较长的对角线长为
＝4.]
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度.
[解]　在△ABC中，由余弦定理，有
cos
C＝＝＝，
则C＝30°.
在△ACD中，由正弦定理，有＝，
∴AD＝＝＝，即AD的长度等于.
10．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2,
AC＝，∠BAD＝60°，求梯形的高．
[解]　作DE⊥AB于E，则DE就是梯形的高．
∵∠BAD＝60°，
∴在Rt△AED中，有DE＝AD
sin
60°＝AD×，即
DE＝AD．　①
∵
AB∥CD，∠BAD＝60°，
∴在△ACD中，∠ADC＝120°，又∵
CD＝2,
AC＝，
∴AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，即()2＝AD2＋22－2AD×2cos
120°，
解得AD＝3(AD＝－5，舍).
将AD＝3代入①，梯形的高DE＝AD＝×3＝.
11．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A．
B．5
C．6
D．7
B　[连接BD(图略)，四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的和，由余弦定理得BD＝2，
S△BCD＝BC·CDsin
120°＝，∠ABD＝120°－30°＝90°，
∴S△ABD＝AB·BD＝4，
∴S四边形ABCD＝＋4＝5.]
12．在平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是(　　)
A．16
B．17.5
C．18
D．19.5
A　[设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，
则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos
α＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
解得a＝5，b＝4，cos
α＝或a＝4，b＝5，cos
α＝，
故sin
α＝＝，
∴S?ABCD＝absin
α＝16.]
13．在△ABC中，A＝105°，B＝30°，a＝，则B的角平分线的长是(　　)
A．
B．2
C．1
D．
C　[设B的角平分线的长为BD．
易知∠ACB＝180°－105°－30°＝45°，∠BDC＝180°－15°－45°＝120°.
在△CBD中，有＝，可得BD＝1.]
14．某班设计了一个八边形的班徽，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形组成．该八边形的面积为(　　)
A．2sin
α－2cos
α＋2
B．sin
α－cos
α＋3
C．3sin
α－cos
α＋1
D．2sin
α－cos
α＋1
A　[
三角形的底边长为x＝＝，
∴S＝4S三角形＋S正方形＝4××1×1×sin
α＋x2＝2sin
α＋2－2cos
α＝2sin
α－2cos
α＋2.]
15．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．
[证明]　设△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如图．
法一：∵＝－，
∴a2＝||2＝(－)2
＝2－2·＋2
＝||2－2||||cos
A＋||2
＝b2－2bccos
A＋c2，
即a2＝b2＋c2－2bccos
A．
同理可证b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C．
法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则C(bcos
A，bsin
A)，B(c,0)，
∴＝(bcos
A，bsin
A)－(c,0)＝(bcos
A－c，bsin
A)，
∴a2＝||2＝(bcos
A－c)2＋(bsin
A)2＝b2cos2A－2bccos
A＋c2＋b2sin2A＝b2－2bccos
A＋c2，
即a2＝b2＋c2－2bccos
A．
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C．