2.6.2平面向量在几何、物理中的应用举例同步练习2020-2021学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册第二章（Word含答案解析）

平面向量在几何、物理中的应用举例
1．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．A，B，C三点共线
B．⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　　)
A．平行四边形　　　　
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
3．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　)
A．2
B．
C．－3
D．－
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径为(　　)
A．4
B．60
C．5
D．6
5．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的(　　)
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
6．已知作用在A(1,1)点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________．
7．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
9．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
10．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求||.
11．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
12．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
13．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
14．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
15．如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
答案
1．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．A，B，C三点共线
B．⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
D　[因为＝(－2,0)，＝(2,4)，所以·＝－4<0，所以∠C是钝角．]
2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　　)
A．平行四边形　　　　
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
D　[由题可知∥，||＝||，
所以四边形ABCD是平行四边形，又⊥，
故四边形为菱形．]
3．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　)
A．2
B．
C．－3
D．－
C　[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，
∴＝3，∴＝－3.
∴λ＝－3.]
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径为(　　)
A．4
B．60
C．5
D．6
C　[∵S△ABC＝ac·sin
B＝c·sin
45°＝c＝2，
∴c＝4，
∴b2＝a2＋c2－2accos
45°＝25，
∴b＝5，
∴△ABC的外接圆直径为＝5.]
5．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的(　　)
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
D　[如图，取AB的中点E，连接OE，则＋＝2.
又＋＋＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．]
6．已知作用在A(1,1)点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________．
(9,1)　[F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．]
7．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
2　[∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.]
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
－　[如图所示，＝(＋)，＝－＝－，
∴·＝(＋)·＝2－2－·＝－－cos
60°＝－.]
9．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
[解]　如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)，
∴＝(1,3)，＝(－1，y)，
∴||＝，||＝，·＝3y－1，
代入cos
45°＝＝＝.
解得y＝－(舍)或y＝2，
∴点P在靠近点A的AO的三等分处．
10．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求||.
[解]　(1)由题意得＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以⊥，即∠A＝90°.因为||＝||，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．
又A(1,2)，所以＝(1，－2)，
所以||＝＝.
11．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
B　[∵·＝·，∴(－)·＝·＝0，∴⊥.
同理可证⊥，⊥，
∴O是垂心．]
12．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
B　[∵|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
设＋＝，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．]
13．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
B　[因为＝－＝－，
所以2＝2＝2－·＋2，
又2＝||2＝5，·＝5，
所以2＝1，
所以||＝2，即AC＝2.]
14．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
　[由已知得·＝3×2×cos
60°＝3，＝2，∴－＝2(－)∴＝＋，
则·＝·(λ－)＝×3＋×4－×9－×3＝－4λ＝.]
15．如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
[解]　(1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝，|F2|＝|G|tan
θ.
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．
(2)由(1)，得|F1|＝，
由|F1|≤2|G|，得cos
θ≥
.
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.