3.1空间图形基本位置关系的认识3.2刻画空间点线面位置关系的公理课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第六章（Word含答案解析）

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题正确的是(　　)
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l不在α内,A∈l,则A?α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
2.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则(　　)
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上,也可能在BD上
D.M既不在AC上,也不在BD上
3.A,B,C为空间三点,经过这三点的平面有　　　　　个;三条平行直线最多能确定的平面的个数为　　　　　.?
4.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　　.?
5.如图四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.
求证:E,F,G,H四点必定共线.
能力提升练
1.
(多选)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,O,C,M四点共面
D.B,B1,O,M四点共面
2.三个互不重合的平面把空间分成n部分,则n所有可能的值为　　　　　.?
3.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c和l共面.
4.
如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.
素养培优练
如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
§3　空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1　空间图形基本位置关系的认识
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l不在α内,A∈l,则A?α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
解析α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点.
若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α,由平面的基本性质的基本事实1,可得A正确;
α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB,由平面的基本性质的基本事实2,可得B正确;
若l不在α内,A∈l,则A∈α或A?α,可得C不正确;
若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本性质的基本事实3,可得D正确.
答案ABD
2.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则(　　)
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上,也可能在BD上
D.M既不在AC上,也不在BD上
解析因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,EF与HG交于点M,所以M为平面ABC与平面ACD的公共点.而两个平面的交线为AC,所以M一定在直线AC上,故选A.
答案A
3.A,B,C为空间三点,经过这三点的平面有　　　　　个;三条平行直线最多能确定的平面的个数为　　　　　.?
解析当A,B,C不共线时,有一个平面经过三点;当A,B,C共线时,有无数个平面经过这三点.
当三条平行直线在一个平面内时,可以确定1个平面;当三条平行直线不在同一平面上时,可以确定3个平面.因此,最多可确定3个平面.
答案1或无数　3
4.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　　.?
解析如图,因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.
因为l∩α=O,所以O∈α.又O∈AB?β,
所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.
答案共线
5.如图四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.
求证:E,F,G,H四点必定共线.
证明因为AB∥CD,所以直线AB,CD确定一个平面β,因为AB∩α=E,
所以E∈AB,E∈α,所以E∈β,所以E在α与β的交线l上.同理,F,G,H也在α与β的交线l上,所以E,F,G,H四点必定共线.
能力提升练
1.
(多选)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,O,C,M四点共面
D.B,B1,O,M四点共面
解析因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.
答案ABC
2.三个互不重合的平面把空间分成n部分,则n所有可能的值为　　　　　.?
解析若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分;
若三个平面有两个平行,第三个平面与其他两个平面相交,则可将空间分成6部分;
若三个平面交于一线,则可将空间分成6部分;
若三个平面两两相交且三条交线平行,则可将空间分成7部分;
若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系),则可将空间分成8部分.
故n的所有可能值为4,6,7或8.
答案4,6,7或8
3.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c和l共面.
证明如
图,因为a∥b,所以a与b确定一个平面α.
因为l∩a=A,l∩b=B,
所以A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,所以l?α.
因为b∥c,所以b与c确定一个平面β,同理l?β.
因为平面α与β都包含l和b,且b∩l=B,
由推论2知,两条相交直线确定一个平面,
所以平面α与平面β重合,所以a,b,c和l共面.
4.
如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.
证明因
为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又=2,所以GH∥BD,且GH=BD,所以EF∥GH,且EF>GH,所以四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,因为EG?平面ABC,FH?平面ACD,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.
素养培优练
如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,所以AA',BB'在同一平面A'B内.
设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.
同理BB',CC'同在平面BC'内,CC',AA'同在平面A'C内.
因为P∈AA',AA'?平面A'C,所以P∈平面A'C.同理点P∈平面BC',所以点P在平面A'C与平面BC'的交线上,而平面A'C∩平面BC'=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.