3.2刻画空间点线面位置关系的公理二课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第六章（Word含答案解析）

3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)
课后篇巩固提升
基础达标练
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1(　　)
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.不确定
2.(多选)下列命题中错误的是(　　)　　　　　　　
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是　　　　　.(填序号)?
5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是　　　　　.?
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
能力提升练
1.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A.有无数条
B.有两条
C.至多有两条
D.有一条
2.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.MN≥(AC+BD)
B.MN≤(AC+BD)
C.MN=(AC+BD)
D.MN<(AC+BD)
3.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论正确的为　　　　　.(填序号)?
4.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.
求证:(1)D1E∥BF;
(2)∠B1BF=∠D1EA1.
素养培优练
(2019安徽合肥期中)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'有12条棱,选取其中6条棱,每条棱上取一点,使这6个点正好成为正八面体的6个顶点(注:正八面体共有6个顶点).比如从点A出发,来进行构建.在与点A相邻的三条棱上分别取一点,使其到点A的距离都为棱长的四分之三,得到3个点:E,F,G.同理,对与点A相对的点C'进行类似的操作,得到另外3个点:E',F',G'.如图所示,显然,位于正方体界面上的6条线段相等,即EF=FG=GE=E'F'=F'G'=G'E'.从正方体内部穿过的线段也有六条:EF',EG',FE',FG',GE',GF'.这样一共得到12条线段,它们就是所要构建的正八面体的12条棱.通过计算它们的长度全都相等,即构建的是正八面体.在此正八面体中EF'与FG'所成角的余弦值是　　　　　.?
3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)
课后篇巩固提升
基础达标练
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1(　　)
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.不确定
解析因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1,所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行,一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,故∠EFG与∠ABC1互补.
答案B
2.(多选)下列命题中错误的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
解析共线的三点不能确定一个平面,故A错误;当A,B,C,D四点共线时,这两个平面可以是相交的,故C错误;四边都相等的四边形可以是空间四边形,故D错误.
答案ACD
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
解析如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,故选C.
答案C
4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是　　　　　.(填序号)?
解析根据异面直线的定义可得.
答案③
5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是　　　　　.?
解析连接GB1,B1F,则GB1∥A1E,故∠B1GF或其补角即为A1E与GF所成的角,B1G=,B1F=,GF=,所以B1G2+FG2=B1F2,所以∠B1GF=90°.
答案90°
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
解在△PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点,
所以EF∥AB,EF=AB,同理GH∥DC,GH=DC.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,AB=CD.
所以EF∥GH,EF=GH.
所以四边形EFGH是平行四边形.
能力提升练
1.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A.有无数条
B.有两条
C.至多有两条
D.有一条
解析如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.
答案A
2.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.MN≥(AC+BD)
B.MN≤(AC+BD)
C.MN=(AC+BD)
D.MN<(AC+BD)
解析如
图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=AC,NE=BD,
所以ME+NE=(AC+BD).
在△MNE中,有ME+NE>MN,
所以MN<(AC+BD).
答案D
3.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论正确的为　　　　　.(填序号)?
解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
答案①③
4.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.
求证:(1)D1E∥BF;
(2)∠B1BF=∠D1EA1.
证明(1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.
在矩形ABB1A1中,易得EM=A1B1,EM∥A1B1.
因为A1B1=C1D1,且A1B1∥C1D1,所以EM=C1D1,且EM∥C1D1.
所以四边形EMC1D1为平行四边形.
所以D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中,易得MB=C1F,且MB∥C1F.
所以BF∥C1M,所以D1E∥BF.
(2)由(1)知,ED1∥BF,BB1∥EA1.
因为∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同,
所以∠B1BF=∠D1EA1.
素养培优练
(2019安徽合肥期中)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'有12条棱,选取其中6条棱,每条棱上取一点,使这6个点正好成为正八面体的6个顶点(注:正八面体共有6个顶点).比如从点A出发,来进行构建.在与点A相邻的三条棱上分别取一点,使其到点A的距离都为棱长的四分之三,得到3个点:E,F,G.同理,对与点A相对的点C'进行类似的操作,得到另外3个点:E',F',G'.如图所示,显然,位于正方体界面上的6条线段相等,即EF=FG=GE=E'F'=F'G'=G'E'.从正方体内部穿过的线段也有六条:EF',EG',FE',FG',GE',GF'.这样一共得到12条线段,它们就是所要构建的正八面体的12条棱.通过计算它们的长度全都相等,即构建的是正八面体.在此正八面体中EF'与FG'所成角的余弦值是　　　　　.?
解析因为EF'∥FE',所以∠E'FG'是此正八面体中EF'与FG'所成角(或所成角的补角),
因为位于正方体界面上的6条线段相等,即EF=FG=GE=E'F'=F'G'=G'E'.
所以E'F=G'F=E'G',所以∠E'FG'=60°,
所以此正八面体中EF'与FG'所成角的余弦值为cos∠E'FG'=cos60°=.
答案