5.2向量数量积的坐标表示5.3利用数量积计算长度与角度课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第二章（Word含答案解析）

5.2　向量数量积的坐标表示　5.3　利用数量积计算长度与角度
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是(　　)
A.a·b=1
B.|a|=|b|
C.(a-b)⊥b
D.a∥b
2.已知向量a=(1,2),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=(　　)
A.
B.
C.5
D.25
3.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　)
A.-3
B.-2
C.2
D.3
4.(多选)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则下列结论正确的有(　　)
A.a·b=5
B.a的单位向量是,-
C.=
D.与b垂直的单位向量是
5.(多选)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列说法错误的是(　　)
A.若k<-2,则a与b的夹角为钝角
B.|a|的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个,为,-
D.若|a|=2|b|,则k=2或-2
6.已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　;此时|b|=　　　　.?
7.已知向量a=(4,-3),b=(-1,2),a,b的夹角为θ,则cos
θ=　　　.?
8.已知平面向量a=(2,1),b=(-1,3),若向量a⊥(a+λb),则实数λ的值是　　　　.?
9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
能力提升练
1.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-1,1),a⊥c,b∥c,则|a+b|2=
(　　)
A.5
B.
C.
D.10
2.已知向量a=(3,2),b=-1,m+,且函数f(x)=(a+xb)·(xa-b)的图象是一条直线,则|b|=(　　)
A.
B.
C.2
D.2
3.已知非零向量m,n满足|m|=2|n|,m,n夹角的余弦值是,若(tm+n)⊥n,则实数t的值是
(　　)
A.-
B.-
C.-
D.
4.已知a=(1,),b=(-2,0),则|a+b|=　　　　.?
5.已知向量m=(-1,2),n=(1,λ).若m⊥n,则m+2n与m的夹角为　　　　　.?
6.在平面直角坐标系中,已知a=(1,-2),b=(3,4).
(1)若(3a-b)∥(a+kb),求实数k的值;
(2)若(a-tb)⊥b,求实数t的值.
素养培优练
　平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点M为直线OP上的动点.
(1)当取最小值时,求的坐标;
(2)在(1)的条件下,求cos∠AMB的值.
5.2　向量数量积的坐标表示　5.3　利用数量积计算长度与角度
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a·b=1
B.|a|=|b|
C.(a-b)⊥b
D.a∥b
解析选项A,a·b=(2,0)·(1,1)=2;选项B,|a|=2,|b|=;选项C,(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,正确;选项D,因为1×2≠1×0,所以两向量不平行.
答案C
2.已知向量a=(1,2),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=(　　)
A.
B.
C.5
D.25
解析因为向量a=(1,2),所以|a|=.因为a·b=10,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=5+20+|b|2=50,所以|b|2=25,所以|b|=5.故选C.
答案C
3.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　)
A.-3
B.-2
C.2
D.3
解析由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0),=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
答案C
4.(多选)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则下列结论正确的有(　　)
A.a·b=5
B.a的单位向量是,-
C.=
D.与b垂直的单位向量是
解析已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,故A正确;
因为a=(3,-1),|a|=,
所以a的单位向量是,-,故B正确;
因为cos=,
所以=,故C正确;
设与b垂直的单位向量是(x,y),可得解得故D错误.故选ABC.
答案ABC
5.(多选)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列说法错误的是(　　)
A.若k<-2,则a与b的夹角为钝角
B.|a|的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个,为,-
D.若|a|=2|b|,则k=2或-2
解析若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,则解得k<2,且k≠-2,A选项正确;
|a|==2,当且仅当k=0时,等号成立,B选项正确;
|b|=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为,-或-,C选项错误;
因为|a|=2|b|=2,所以=2,解得k=±2,D选项错误.
故选CD.
答案CD
6.已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　;此时|b|=　　　　.?
解析由题意,a·b=0,即-4×6+3m=0,解得m=8,此时|b|==10.
答案8　10
7.已知向量a=(4,-3),b=(-1,2),a,b的夹角为θ,则cos
θ=　　　.?
解析依题意cosθ==-=-.
答案-
8.已知平面向量a=(2,1),b=(-1,3),若向量a⊥(a+λb),则实数λ的值是　　　　.?
解析因为a=(2,1),b=(-1,3),
所以a+λb=(2-λ,1+3λ),
因为a⊥(a+λb),所以a·(a+λb)=0,
所以2(2-λ)+1+3λ=0,解得λ=-5.
答案-5
9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解(1)设向量c=(x,y),
因为a=(1,2),|c|=2,c∥a,
所以
解得
所以c=(2,4)或c=(-2,-4);
(2)因为a+2b与2a-b垂直,
所以(a+2b)·(2a-b)=0,
所以2|a|2-a·b+4a·b-2|b|2=0,
又|b|=,|a|=,
所以2×5+3a·b-2×=0,得a·b=-,
所以cosθ==-1.
因为θ∈[0,π],所以θ=π.
能力提升练
1.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-1,1),a⊥c,b∥c,则|a+b|2=
(　　)
A.5
B.
C.
D.10
解析由题意可得-x+1=0,-y-2×1=0,解得x=1,y=-2.所以a=(1,1),b=(2,-2),所以a+b=(3,-1),所以|a+b|2=32+(-1)2=10.故选D.
答案D
2.已知向量a=(3,2),b=-1,m+,且函数f(x)=(a+xb)·(xa-b)的图象是一条直线,则|b|=(　　)
A.
B.
C.2
D.2
解析由题意,f(x)=(a+xb)·(xa-b)
=x|a|2-a·b+x2a·b-x|b|2
=a·bx2+(|a|2-|b|2)x-a·b,
因为函数f(x)的图象是一条直线,
所以a·b=0,即3×(-1)+2×m+=0,
解得m=-2,所以b=-1,,
|b|=.故选A.
答案A
3.已知非零向量m,n满足|m|=2|n|,m,n夹角的余弦值是,若(tm+n)⊥n,则实数t的值是
(　　)
A.-
B.-
C.-
D.
解析因为|m|=2|n|,且m,n夹角的余弦值是,
所以m·n=|m||n|=|n|2.
又(tm+n)⊥n,
所以(tm+n)·n=tm·n+|n|2=|n|2+|n|2=0.
因为|n|≠0,所以+1=0,所以t=-.故选A.
答案A
4.已知a=(1,),b=(-2,0),则|a+b|=　　　　.?
解析因为a+b=(-1,),
所以|a+b|==2.
答案2
5.已知向量m=(-1,2),n=(1,λ).若m⊥n,则m+2n与m的夹角为　　　　　.?
解析因为m⊥n,所以m·n=0,所以-1×1+2λ=0,解得λ=,即n=1,,因此,m+2n=(1,3).设m+2n与m的夹角为θ,因此有cosθ=.
因为θ∈[0,π],所以θ=.
答案
6.在平面直角坐标系中,已知a=(1,-2),b=(3,4).
(1)若(3a-b)∥(a+kb),求实数k的值;
(2)若(a-tb)⊥b,求实数t的值.
解(1)因为a=(1,-2),b=(3,4),
所以3a-b=3(1,-2)-(3,4)=(0,-10),
a+kb=(1,-2)+k(3,4)=(3k+1,4k-2).
因为(3a-b)∥(a+kb),
所以-10(3k+1)=0,解得k=-.
(2)a-tb=(1,-2)-t(3,4)=(1-3t,-2-4t),
因为(a-tb)⊥b,
所以(a-tb)·b=3×(1-3t)+4×(-2-4t)=-25t-5=0,
解得t=-.
素养培优练
　平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点M为直线OP上的动点.
(1)当取最小值时,求的坐标;
(2)在(1)的条件下,求cos∠AMB的值.
解(1)设=(x,y),
因为点M在直线OP上,
所以向量共线.又=(2,1),
所以x×1-y×2=0,即x=2y.
所以=(2y,y).
又=(1,7),
所以=(1-2y,7-y).
同理=(5-2y,1-y).
于是=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.
当y=2时,有最小值-8,此时=(4,2).
(2)由(1)知=(4,2),所以=(-3,5),=(1,-1),||=,||==(-3)×1+5×(-1)=-8.故cos∠AMB==-.