4.2平面向量及运算的坐标表示课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第二章（Word含答案解析）

4.2　平面向量及运算的坐标表示
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(　　)　　　　　
A.-2,1
B.1,-2
C.2,-1
D.-1,2
2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基{a,b}表示c,则(　　)
A.c=3a-2b
B.c=-3a+2b
C.c=-2a+3b
D.c=2a-3b
3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是
(　　)
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
5.已知点A(1,2),B(3,x),向量a=(2-x,-1),∥a,则(　　)
A.x=3时与a方向相同
B.x=与a方向相同
C.x=3时与a方向相反
D.x=-与a方向相反
6.已知点A(0,1),B(2,5),C(x,-3),则向量的坐标是　　　　;若A,B,C三共点线,则实数x=　　　　.?
7.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是　　　.?
能力提升练
1.若{i,j}为正交基,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于(　　)
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三象限
D.第四象限
2.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“?”为m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),则q等于(　　)
A.(-2,1)
B.(2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,-1)
3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于(　　)
A.(1,-1)
B.(-1,1)
C.(-4,6)
D.(4,-6)
4.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,0)∪(0,+∞)
B.(-∞,3)
C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)
D.[-3,3)
5.如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m=n,m,n∈R,则的值为　　　　　.?
6.
如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
素养培优练
　已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.
(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;
(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;
(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.
4.2　平面向量及运算的坐标表示
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2,1
B.1,-2
C.2,-1
D.-1,2
解析因为c=λ1a+λ2b,
所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).
所以解得λ1=-1,λ2=2.
答案D
2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基{a,b}表示c,则(　　)
A.c=3a-2b
B.c=-3a+2b
C.c=-2a+3b
D.c=2a-3b
解析如图建立直角坐标系,设正方形网格的边长为1,
则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3),
设向量c=ma+nb,则解得
所以c=3a-2b.
答案A
3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析易得=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为(3,-4)=,故选A.
答案A
4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是
(　　)
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
解析设a=k1e1+k2e2,
A选项,因为(3,2)=(k2,2k2),所以无解.
B选项,因为(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),
所以解得
故B中的e1,e2可把a表示出来.
同理,C,D选项同A选项,无解.
答案B
5.已知点A(1,2),B(3,x),向量a=(2-x,-1),∥a,则(　　)
A.x=3时与a方向相同
B.x=与a方向相同
C.x=3时与a方向相反
D.x=-与a方向相反
解析A(1,2),B(3,x),可得=(2,x-2),
又a=(2-x,-1),∥a,
可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2±,
当x=2+时,=(2,)与a=(-,-1)方向相反,当x=2-时,=(2,-)与a=(,-1)方向相同.
答案BD
6.已知点A(0,1),B(2,5),C(x,-3),则向量的坐标是　　　　;若A,B,C三共点线,则实数x=　　　　.?
解析因为A(0,1),B(2,5),
所以=(2-0,5-1)=(2,4);
向量=(x-0,-3-1)=(x,-4),
因为A,B,C三点共线,所以,
所以2×(-4)-4x=0,解得x=-2.
答案(2,4)　-2
7.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是　　　.?
解析因为A,B,C三点共线,所以共线,所以存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),所以解得λ=,a+.
答案
能力提升练
1.若{i,j}为正交基,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于(　　)
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三象限
D.第四象限
解析x2+x+1=x+2+>0,
x2-x+1=x-2+>0,
所以向量a对应的坐标位于第四象限.
答案D
2.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“?”为m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),则q等于(　　)
A.(-2,1)
B.(2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,-1)
解析设q=(x,y),由题设中运算法则,得
p?q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),
即解得故q=(-2,1).
答案A
3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于(　　)
A.(1,-1)
B.(-1,1)
C.(-4,6)
D.(4,-6)
解析因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
答案D
4.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,0)∪(0,+∞)
B.(-∞,3)
C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)
D.[-3,3)
解析因为平面上任意向量c都可以用a,b唯一表示,所以a,b是平面向量的一组基,即a,b为不共线的非零向量,则3m≠2m-3,即m≠-3,故选C.
答案C
5.如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m=n,m,n∈R,则的值为　　　　　.?
解析设=a,=b,由题意知)=(a+b),=nb-ma,a+b,由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,从而消去λ,得=3.
答案3
6.
如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
解(方法一)设=t=t(4,4)=(4t,4t),
则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),
=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,
解得t=,所以=(4t,4t)=(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
(方法二)设P(x,y),则=(x,y),
因为共线,=(4,4),所以4x-4y=0.
①
又=(x-2,y-6),
=(2,-6),且向量共线,
所以-6(x-2)+2(6-y)=0.
②
解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
素养培优练
　已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.
(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;
(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;
(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.
(1)证明设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),
又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),
所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),
所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).
(2)解f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).
(3)解设向量c=(x3,y3),则
解得所以c=(1,3).