5.1向量的数量积课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第二章（Word含答案解析）

5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,则a在b方向上的投影数量为(　　)
A.-2
B.
C.-2
D.2
2.已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,则=(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
3.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a=(　　)
A.3
B.-3
C.
D.-
5.(多选)对任意平面向量a,b,c,下列说法正确的是(　　)
A.若a·b=b·c,则a=c
B.若a=b,b=c,则a=c
C.|a|-|b|<|a|+|b|
D.|a·b|≤|a||b|
6.已知△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边的高.
(1)若P为线段OC的中点,则=　　　　　;?
(2)若P为线段OC上的动点,则的取值范围为　　　　.?
7.已知向量a,b的夹角为,|a|=1,|b|=2.
(1)求a·b的值;
(2)若2a-b和ta+b垂直,求实数t的值.
能力提升练
1.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=,则=(　　)
A.-1
B.1
C.
D.2
2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·()等于(　　)
A.
B.-
C.
D.-
3.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,点E为BC的中点,过点E作EF⊥BC交AC所在直线于点F,则向量在向量方向上的投影数量为(　　)
A.2
B.
C.1
D.3
4.如图,在△ABC中,AD⊥AB,,||=2,则=(　　)
A.2
B.4
C.3
D.
5.已知e1,e2为单位向量且夹角为,设a=e1+e2,b=e2,则a在b方向上的投影数量为　　　　　　　　　.?
6.如图,在半径为r的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点,若,且点D在圆C上,则=　　　　.?
素养培优练
　(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.若非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°
B.若a·b>0,则a,b的夹角为锐角
C.若,则△ABC一定是直角三角形
D.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影数量为
5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,则a在b方向上的投影数量为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2
B.
C.-2
D.2
解析因为|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为120°,所以a在b方向上的投影数量为|a|cos=4×cos120°=-2.故选A.
答案A
2.已知矩形ABCD中,AB=2,BC=1,则=(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由
向量的投影的几何意义及图象可知:
方向上的投影数量为||=2,故=||2=4.故选D.
答案D
3.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析若存在负数λ,使m=λn,则两向量m,n反向,夹角是180°,此时m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0;若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,所以是充分而不必要条件.故选A.
答案A
4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a=(　　)
A.3
B.-3
C.
D.-
解析a·b+b·c+c·a=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°=-.故选D.
答案D
5.(多选)对任意平面向量a,b,c,下列说法正确的是(　　)
A.若a·b=b·c,则a=c
B.若a=b,b=c,则a=c
C.|a|-|b|<|a|+|b|
D.|a·b|≤|a||b|
解析对于A,反例b=0,则a与c不一定相等,所以A不正确;
由向量相等的充要条件,可知B正确;
对于C,若b=0,则不等式不成立,所以C不正确;
|a·b|=|a||b||cos|≤|a||b|,所以D正确.故选BD.
答案BD
6.已知△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边的高.
(1)若P为线段OC的中点,则=　　　　　;?
(2)若P为线段OC上的动点,则的取值范围为　　　　.?
解析(1)=-·=-|2=-.
(2)设=λ(0≤λ≤1),
=-λ+λ2||2=-,所以取值范围是-,0.
答案(1)-　(2)-,0
7.已知向量a,b的夹角为,|a|=1,|b|=2.
(1)求a·b的值;
(2)若2a-b和ta+b垂直,求实数t的值.
解(1)a·b=|a||b|cos=1×2×-=-1.
(2)因为2a-b和ta+b垂直,
所以(2a-b)·(ta+b)=0,
整理得2t|a|2+(2-t)a·b-|b|2=0,
即2t-(2-t)-4=0,
解得t=2.
能力提升练
1.在梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=,则=(　　)
A.-1
B.1
C.
D.2
解析因为四边形ABCD为直角梯形,所以方向上的投影数量为,
由数量积的几何意义可知,=()2=2.故选D.
答案D
2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·()等于(　　)
A.
B.-
C.
D.-
解析因
为M是BC的中点,所以AM是BC边上的中线.
又点P在AM上且满足=2,
所以P是△ABC的重心,
所以·()
==-||2.
因为AM=1,所以||=,
所以·()=-.故选B.
答案B
3.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,点E为BC的中点,过点E作EF⊥BC交AC所在直线于点F,则向量在向量方向上的投影数量为(　　)
A.2
B.
C.1
D.3
解析因为点E为BC的中点,
所以)+.
又因为EF⊥BC,
所以)·)·()=)=12,所以向量在向量方向上的投影数量为=2.故选A.
答案A
4.如图,在△ABC中,AD⊥AB,,||=2,则=(　　)
A.2
B.4
C.3
D.
解析根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得=()·
=,
由AD⊥AB,可知=0,
又因为,||=2,
所以
=|·||·cos∠ADB
=×2×||×=4.故选B.
答案B
5.已知e1,e2为单位向量且夹角为,设a=e1+e2,b=e2,则a在b方向上的投影数量为　　　　　　　　　.?
解析由题可知|e1|=|e2|=1,=,
因为a·b=(e1+e2)·e2=e1·e2+e2·e2=+1=,
|b|=1,所以a在b方向上的投影数量为
|a|cos=.
答案
6.如图,在半径为r的定圆C中,A为圆上的一个定点,B为圆上的一个动点,若,且点D在圆C上,则=　　　　.?
解析因为,所以四边形ABDC为平行四边形.又AC=CD=CB=r,所以∠CAB=60°,
所以=r×r×cos60°=.
答案
素养培优练
　(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.若非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°
B.若a·b>0,则a,b的夹角为锐角
C.若,则△ABC一定是直角三角形
D.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影数量为
解析对于A,由向量减法法则及题意知,向量a,b,a-b可以组成一个等边三角形,向量a,b的夹角为60°,又由向量加法的平行四边形法则知,以a,b为邻边的平行四边形为菱形,所以a与a+b的夹角为30°,故选项A中说法正确.
对于B,当a=b≠0时不成立,故选项B中说法错误.
对于C,因为,
所以·()-,所以=0,即,
所以△ABC是直角三角形,故选项C中说法正确.
对于D,如图,其中四边形ABDC为平行四边形,
因为=2,所以O为AD,BC的交点,又||=||=||,所以△AOC为等边三角形,
所以∠ACB=60°,且BC为外接圆的直径,所以∠ABC=30°.在直角三角形ABC中,BC=2,AC=1,所以AB=,则向量在向量方向上的投影数量为||cos∠ABC=.故选项D中说法正确.
故选ACD.
答案ACD