6.2平面向量在几何物理中的应用举例课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第二章（Word含答案解析）

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)点P是△ABC所在平面内一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状不可能是(　　)　　　　
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
2.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是(　　)
A.
B.
C.
D.
3.两个大小相等的共点力F1、F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20
N,当它们的夹角为120°时,合力大小为
(　　)
A.40
N
B.10
N
C.20
N
D.40
N
4.已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,则实数m为(　　)
A.2
B.-2
C.4
D.-4
5.如图,在菱形ABCD中,∠B=,AB=4.
(1)若P为BC的中点,则=　　　　;?
(2)点P在线段BC上运动,则||的最小值为　　　　.?
6.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且(a+b)2=1.
(1)求;
(2)在△ABC中,若=a,=b,求||.
能力提升练
1.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)
A.(9,1)
B.(1,9)
C.(9,0)
D.(0,9)
2.已知在△ABC中,||=2,=-2.点P为BC边上的动点,则·()的最小值为(　　)
A.2
B.-
C.-2
D.-
3.某人从点O向正东方向走30
m到达点A,再向正北方向走30
m到达点B,则此人的位移的大小是　　　　
m,方向是东偏北　　　　.?
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D是BC的中点,且M点在△ACD的内部(不含边界),若+m,则的取值范围是　　　　.?
5.如图,用两根绳子把重10
kg的物体W吊在水平杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
素养培优练
　延长正方形ABCD的边CD至E,使得DE=CD.若动点Ρ从点Α出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到Α点,若=λ+μ,下列判断正确的是(　　)
A.满足λ+μ=2的点Ρ必为ΒC的中点
B.满足λ+μ=1的点Ρ有且只有一个
C.λ+μ的最小值不存在
D.λ+μ的最大值为3
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)点P是△ABC所在平面内一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状不可能是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
解析因为P是△ABC所在平面内一点,
且||-|-2|=0,
所以||-|()+()|=0,
即||=||,
所以||=||,两边平方并化简得=0,所以,
所以∠A=90°,则△ABC一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,故不可能是钝角三角形,等边三角形.故选AD.
答案AD
2.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析·()=
==||2,A是正确的,同理B也正确.
=||·||cos∠ACD=||2,故C不正确.
又
=2=||2.
故D正确.
答案C
3.两个大小相等的共点力F1、F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20
N,当它们的夹角为120°时,合力大小为
(　　)
A.40
N
B.10
N
C.20
N
D.40
N
解析如
图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.
由题意,易知|F|=|F1|,|F|=20N,
所以|F1|=|F2|=10N.
当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,
此平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=10N.
答案B
4.已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,则实数m为(　　)
A.2
B.-2
C.4
D.-4
解析由+2=m,得.
设,则,所以A,B,D三点共线.
如图所示.
因为反向共线,
所以,
所以,
解得m=-4.故选D.
答案D
5.如图,在菱形ABCD中,∠B=,AB=4.
(1)若P为BC的中点,则=　　　　;?
(2)点P在线段BC上运动,则||的最小值为　　　　.?
解析(1)在菱形ABCD中,∠B=,AB=4,P为BC的中点,
所以BP=2,AP=2,
所以AP2+BP2=AB2,即AP⊥BP,
则=0.
(2)点P在线段BC上运动,
可设BP=x(0≤x≤4),M为AB中点,
则||=2||.
在△BPM中,||2=22+x2-2×2x×=x2-2x+4=(x-1)2+3,
当x=1时,PM有最小值,即||=2||的最小值为2.
答案(1)0　(2)2
6.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且(a+b)2=1.
(1)求;
(2)在△ABC中,若=a,=b,求||.
解(1)因为(a+b)2=a2+b2+2a·b=22++2a·b=1,
所以a·b=-3,
所以cos==-,
又夹角在[0,π]上,所以=.
(2)因为=b-a,
所以=(b-a)2=b2+a2-2b·a=+22-2×(-3)=13,
所以BC边的长度为||=.
能力提升练
1.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)
A.(9,1)
B.(1,9)
C.(9,0)
D.(0,9)
解析F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,y),则+F=(1,1)+(8,0)=(9,1).
答案A
2.已知在△ABC中,||=2,=-2.点P为BC边上的动点,则·()的最小值为(　　)
A.2
B.-
C.-2
D.-
解析以BC的中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
可得B(-1,0),C(1,0),设P(a,0)(-1≤a≤1),A(x,y)(y≠0),
由=-2,
可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,
则·()
=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0)
=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3,
当a=时,·()的最小值为-.故选D.
答案D
3.某人从点O向正东方向走30
m到达点A,再向正北方向走30
m到达点B,则此人的位移的大小是　　　　
m,方向是东偏北　　　　.?
解析如
图所示,此人的位移是,且,
则||==60m,
tan∠BOA=.所以∠BOA=60°.
答案60　60°
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D是BC的中点,且M点在△ACD的内部(不含边界),若+m,则的取值范围是　　　　.?
解析建立如图所示的平面直角坐标系,
因为D为BC中点,AB=AC=3,所以D.
A(0,0),B(3,0),C(0,3),
则+m
=(3,0)+m(0,3)=(1,3m),
则M点的坐标为(1,3m).
又因为M点在△ACD的内部(不含边界),所以1<3m<2,
即则=-,3m-·(-2,3m)
=1+3m3m-=9m2-m+1
=9,
因为答案,2
5.如图,用两根绳子把重10
kg的物体W吊在水平杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
解设A,B处所受力分别为F1,F2,10kg的重力用F表示,则F1+F2+F=0.
以重力作用点C为F1,F2的始点,作平行四边形CFWE,使CW为对角线,
则=-F2,=-F1,=F.
∠ECW=180°-150°=30°,
∠FCW=180°-120°=60°,
∠FCE=90°,
所以四边形CEWF为矩形.
所以||=||cos30°=5,
||=||cos60°=5.
即A处所受的力为5kg,B处受力为5kg.
素养培优练
延长正方形ABCD的边CD至E,使得DE=CD.若动点Ρ从点Α出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到Α点,若=λ+μ,下列判断正确的是(　　)
A.满足λ+μ=2的点Ρ必为ΒC的中点
B.满足λ+μ=1的点Ρ有且只有一个
C.λ+μ的最小值不存在
D.λ+μ的最大值为3
解析设正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,
所以A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E(-1,1),则=(1,0),=(-1,1),设=(a,b)(0≤a≤1,0≤b≤1),由=λ+μ,得(a,b)=λ(1,0)+μ(-1,1),
(a,b)=(λ-μ,μ),所以
当P在线段AB上时,0≤a≤1,b=0,此时μ=0,λ=a,此时λ+μ=a,所以0≤λ+μ≤1;
当P在线段BC上时,a=1,0≤b≤1,此时μ=b,λ=a+μ=1+b,即λ+μ=1+2b,所以1≤λ+μ≤3;
当P在线段CD上时,0≤a≤1,b=1,此时μ=1,λ=a+μ=a+1,此时λ+μ=a+2,所以1≤λ+μ≤3;
当P在线段DA上时,a=0,0≤b≤1,此时μ=b,λ=a+μ=b,此时λ+μ=2b,所以0≤λ+μ≤2.
由以上讨论可知,当λ+μ=2时,P可为BC的中点,也可以是点D,所以A错;使λ+μ=1的点有两个,分别为点B与AD的中点,所以B错;当P运动到点A时,λ+μ有最小值0,故C错,当P运动到点C时,λ+μ有最大值3,所以D正确.故选D.
答案D