4.2.2对数运算法则练习题-2021-2022学年高中数学人教版B版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

对数运算法则
一、选择题
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
2．lg
－2lg
＋lg
等于(　　)
A．lg
2　
B．lg
3
C．lg
4　　　　
D．lg
5
3．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2
B．3a－(1＋a)2
C．5a－2
D．－a2＋3a－1
4．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3　
B．4　　　　
C．5　　　　
D．6
5．若x＝60，则＋＋的值为(　　)
A．1
B．
C．2
D．－1
二、填空题
6．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.
7．计算100eq
\s\up12()－log98·log4＝________.
8．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)lg
－lg
＋lg
.
(2)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋(lg
2)2.
10．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)．
(1)若设x＝at，试用a，t表示y；
(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．
素养达标
11．已知f(x)＝x＋log2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)的值为(　　)
A．37
B．6
C．36
D．9
12．(多选题)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　)
A．logax2＝2logax
B．logax2＝2loga|x|
C．loga(xy)＝logax＋logay
D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|
13．log425－2log410＋log45·log516的值是________．
14．已知函数f(x)＝f(f(0))＝3a，则a＝________；f(log2a)＝________.
15．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a＞0且a≠1)，求log8的值．
一、选择题
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
B　[利用对数的换底公式进行验证，
logab·logca＝·logca＝logcb，则B正确．]
2．lg
－2lg
＋lg
等于(　　)
A．lg
2　
B．lg
3
C．lg
4　　　　
D．lg
5
A　[法一：lg
－2lg
＋lg
＝(lg
25－lg
16)－2(lg
5－lg
9)＋(lg
32－lg
81)＝2lg
5－4lg
2－2lg
5＋4lg
3＋5lg
2－4lg
3＝lg
2.
法二：lg
－2lg
＋lg
＝lg＝lg
2.故选A．]
3．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2
B．3a－(1＋a)2
C．5a－2
D．－a2＋3a－1
A　[∵a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)
＝3a－2(a＋1)＝a－2.]
4．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3　
B．4　　　　
C．5　　　　
D．6
D　[原式＝··＝··＝6.]
5．若x＝60，则＋＋的值为(　　)
A．1
B．
C．2
D．－1
A　[＋＋＝log603＋log604＋log605＝log60(3×4×5)＝1．]
二、填空题
6．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.
20　[∵3a＝2,3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，
∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20.]
7．计算100eq
\s\up12()－log98·log4＝________.
2　[100eq
\s\up12()－log98·log4＝10lg
9÷10lg
4－·＝－·＝－＝2.]
8．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
81　[logab·log3a＝·＝＝4，所以lg
b＝4lg
3＝lg
34，所以b＝34＝81．]
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)lg
－lg
＋lg
.
(2)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋(lg
2)2.
[解]　(1)原式＝(lg
25－lg
72)－lg
2eq
\s\up12()＋lg(72×5)＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5＝(lg
2＋lg
5)＝.
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2
＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3.
10．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)．
(1)若设x＝at，试用a，t表示y；
(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．
[解]　(1)由换底公式，
得logax＋－＝3(a＞1)，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3.
当x＝at时，logax＝t，
所以logay＝t2－3t＋3.
所以y＝a(t≠0)．
(2)由(1)知y＝aeq
\s\up12((t－)2)＋，
因为0＜t≤2，a＞1，
所以当t＝时，ymin＝aeq
\s\up12()＝8.
所以a＝16，此时x＝aeq
\s\up12()＝64.
素养达标
11．已知f(x)＝x＋log2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)的值为(　　)
A．37
B．6
C．36
D．9
C　[∵f(x)＝x＋log2，
∴f(x)＋f(9－x)＝＋
＝9.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝[f(1)＋f(8)]＋[f(2)＋f(7)]＋[f(3)＋f(6)]＋[f(4)＋f(5)]＝9×4＝36.]
12．(多选题)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　)
A．logax2＝2logax
B．logax2＝2loga|x|
C．loga(xy)＝logax＋logay
D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|
AC　[∵xy>0，∴A中，若x<0，则不成立；C中，若x<0，y<0也不成立，故选AC．]
13．log425－2log410＋log45·log516的值是________．
1　[log425－2log410＋log45·log516
＝log425－log4100＋×＝log4＋
＝log4
＋log416＝－1＋2＝1．]
14．已知函数f(x)＝f(f(0))＝3a，则a＝________；f(log2a)＝________.
2　1　[f(0)＝30＋1＝2，
∴f(f(0))＝f(2)＝4a－2＝3a，
∴a＝2，f(log2a)＝f(log22)＝f(1)＝2×12－1＝1．]
15．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a＞0且a≠1)，求log8的值．
[解]　由对数的运算法则，可将等式化为
loga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
所以(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
所以所以＝.
所以log8＝log8＝log232－1＝－.