1.8三角函数的简单应用 同步练习2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

三角函数的简单应用
1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至(　　)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安
B．5安
C．5
安
D．10安
3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为(　　)
A．24.5天
B．29.5天
C．28.5天
D．24天
4．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5
B．6
C．8
D．10
6．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin
160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
7．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20
cm，某时刻振子处在B点，经0.5
s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5
s末相对平衡位置的位移大小分别为________cm，________cm.
8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5
cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
9．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，|φ|<.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
10．下表是某地某年月平均气温(华氏)：
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴．
(1)用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；
(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①＝cos；②＝cos；③＝cos.
11．如图所示，某风车的半径为2
m，每12
s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5
m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．则h与t满足的函数关系为(　　)
A．h＝sin＋2.5
B．h＝2sin＋1.5
C．h＝－2cost＋2.5
D．h＝2cost＋2.5
12．如图所示，有一广告气球，直径为6
m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sin
θ≈θ，试估算气球的高BC的值约为(　　)
A．70
m
B．86
m　
C．102
m
D．118
m
13．如图所示，表示电流I与时间t的关系式：I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|<在一个周期内的图象．根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式为(　　)
A．300sin
B．300sin
C．300sin
D．300sin
14．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)，的图象，列出的部分数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
15．如图，一个水轮的半径为4
m，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
答案
1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至(　　)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
C　[该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C．]
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安
B．5安
C．5
安
D．10安
A　[由图象知A＝10，＝－＝，∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．
又(，10)为五点中的第二个点，
∴100π×
＋φ＝.
∴φ＝，∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5安．]
3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为(　　)
A．24.5天
B．29.5天
C．28.5天
D．24天
B　[由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期．]
4．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
C　[由题意知，函数的周期为T＝60，∴|ω|＝＝.
设函数解析式为y＝sin.
∵初始位置为P0，
∴t＝0时，y＝，∴sin
φ＝，∴φ可取，
∴函数解析式可以是y＝sin.
又由秒针顺时针转动可知，y的值从t＝0开始要先逐渐减小，
故y＝sin.]
5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5
B．6
C．8
D．10
C　[根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋5＝8.]
6．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin
160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
80　[∵T＝＝，∴f＝＝80.]
7．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20
cm，某时刻振子处在B点，经0.5
s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5
s末相对平衡位置的位移大小分别为________cm，________cm.
200　10　[振幅A＝10，T＝0.5×2＝1，每个周期通过的路程为40
cm,5秒内通过200
cm；经过5个周期仍回到初始位置B，位移为10
cm.]
8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5
cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
10sin　[解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin.]
9．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，|φ|<.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[解]　(1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)b＝＝40，A×1＋40＝50A＝10，
由图可知，＝14－8＝6，则T＝12，ω＝＝，
则y＝10sin＋40，代入(8,30)得φ＝，
∴解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
10．下表是某地某年月平均气温(华氏)：
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴．
(1)用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；
(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①＝cos；②＝cos；③＝cos.
[解]　(1)如图．
(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，
故＝7－1＝6，所以T＝12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A＝73.0－21.4＝51.6，
所以A＝25.8.
(3)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0.
代入①，得＝>1≠cos，故①不适合；代入②，得＝<0≠cos，故②不适合．所以应选③.
11．如图所示，某风车的半径为2
m，每12
s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5
m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．则h与t满足的函数关系为(　　)
A．h＝sin＋2.5
B．h＝2sin＋1.5
C．h＝－2cost＋2.5
D．h＝2cost＋2.5
C　[最大值M＝4.5
m，最小值m＝0.5
m，所以A＝＝2，b＝＝2.5，因为T＝12，所以ω＝＝，又风车从最低点开始运动，所以
×0＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，不妨设φ＝，所以h与t满足的函数关系为h＝2sin＋2.5＝－2cost＋2.5.]
12．如图所示，有一广告气球，直径为6
m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sin
θ≈θ，试估算气球的高BC的值约为(　　)
A．70
m
B．86
m　
C．102
m
D．118
m
B　[AC＝＝≈×180≈172(m)，又∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝86
m．]
13．如图所示，表示电流I与时间t的关系式：I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|<在一个周期内的图象．根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式为(　　)
A．300sin
B．300sin
C．300sin
D．300sin
A　[由图象可知A＝300，又T＝2＝，∴ω＝＝100π.
又∵t＝－时，I＝0，
∴100π(－)＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝，
∴I＝300sin.]
14．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)，的图象，列出的部分数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
y＝2sin　[在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．
根据函数图象的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意；又∵0∴A＝2，
∵函数图象过点(0,1)，
∴2sin
φ＝1.又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，知x＝1时函数取得最大值2，
∴函数的最小正周期为6.
∴ω＝，∴函数的解析式为y＝2sinx＋.]
15．如图，一个水轮的半径为4
m，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
[解]　(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝.
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin
φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4
s.