4.3指数函数与对数函数的关系练习题-2021-2022学年高中数学人教版B版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

指数函数与对数函数的关系
一、选择题
1．函数y＝log3x的反函数是(　　)
A．y＝logeq
\s\do12()x　　　　　
B．y＝3x
C．y＝
D．y＝x3
2．函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(1,9]
C．(0,1)
D．[9，＋∞)
3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为(　　)
A．(1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
4．函数y＝ex＋1的反函数是(　　)
A．y＝1＋ln
x
(x>0)
B．y＝1－ln
x
(x>0)
C．y＝－1－ln
x
(x>0)
D．y＝－1＋ln
x
(x>0)
5．设a＝，b＝，c＝logeq
\s\do12()x，若x>1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aB．bC．cD．b二、填空题
6．已知函数f(x)＝1＋logax，y＝f－1(x)是函数y＝f(x)的反函数，若y＝f－1(x)的图像过点(2,4)，则a的值为________．
7．函数f(x)＝的反函数为g(x)，那么g(x)的图像一定过点________．
8．已知函数f(x)＝log2(x＋a)的反函数为y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，则实数a＝________.
三、解答题
9．求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．
10．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
素养达标
11．将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得到函数y＝log2(x＋1)的图像(　　)
A．先向上平移一个单位长度
B．先向右平移一个单位长度
C．先向左平移一个单位长度
D．先向下平移一个单位长度
12．(多选题)已知f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(log2x－1，x＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，x≤1，))则下列结论正确的是(　　)
A．f(f(1))＝
B．f(f(－1))＝
C．f(f(0))＝
D．f＝2
019
13．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是__________．
14．把下面不完整的命题补充完整，并使其成为真命题．
若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
15．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．
一、选择题
1．函数y＝log3x的反函数是(　　)
A．y＝logeq
\s\do12()x　　　　　
B．y＝3x
C．y＝
D．y＝x3
B　[∵y＝log3x，∴3y＝x，∴函数y＝log3x的反函数是y＝3x，故选B．]
2．函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(1,9]
C．(0,1)
D．[9，＋∞)
B　[由于反函数的定义域为原函数的值域，
∵0＜x≤2，∴y＝3x∈(1,9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(1,9]．]
3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为(　　)
A．(1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
C　[y＝f－1(x)的定义域即为原函数的值域，∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.]
4．函数y＝ex＋1的反函数是(　　)
A．y＝1＋ln
x
(x>0)
B．y＝1－ln
x
(x>0)
C．y＝－1－ln
x
(x>0)
D．y＝－1＋ln
x
(x>0)
D　[由y＝ex＋1得x＋1＝ln
y，
即x＝－1＋ln
y，所以所求反函数为y＝－1＋ln
x
(x>0)．故选D．]
5．设a＝，b＝，c＝logeq
\s\do12()x，若x>1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aB．bC．cD．bC　[∵x>1，
∴a＝<＝，b＝>＝1，
∴0\s\do12()x是减函数，∴logeq
\s\do12()x\s\do12()1＝0.
∴c二、填空题
6．已知函数f(x)＝1＋logax，y＝f－1(x)是函数y＝f(x)的反函数，若y＝f－1(x)的图像过点(2,4)，则a的值为________．
4　[因为y＝f－1(x)的图像过点(2,4)，所以函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，又因为f(x)＝1＋logax，
所以2＝1＋loga4，即a＝4.]
7．函数f(x)＝的反函数为g(x)，那么g(x)的图像一定过点________．
(1,0)　[f(x)＝的反函数为g(x)＝logeq
\s\do12()x，所以g(x)的图像一定过点(1,0)．]
8．已知函数f(x)＝log2(x＋a)的反函数为y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，则实数a＝________.
3　[函数f(x)＝log2(x＋a)的反函数为y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，则2＝log2(1＋a)，解得a＝3.]
三、解答题
9．求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．
[解]　因为y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2.
所以1由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)．
所以f－1(x)＝log2(x－1)(110．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
[解]　将方程整理得2x＝－x＋3，
log2x＝－x＋3.
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，
b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，
于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A，B都在直线y＝－x＋3上，
所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，
或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.
素养达标
11．将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得到函数y＝log2(x＋1)的图像(　　)
A．先向上平移一个单位长度
B．先向右平移一个单位长度
C．先向左平移一个单位长度
D．先向下平移一个单位长度
D　[将y＝2x向下平移一个单位得到y＝2x－1，再作关于直线y＝x对称的图像即可得到．故选D．]
12．(多选题)已知f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(log2x－1，x＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，x≤1，))则下列结论正确的是(　　)
A．f(f(1))＝
B．f(f(－1))＝
C．f(f(0))＝
D．f＝2
019
ACD　[f(f(1))＝f＝eq
\s\up12()＝，选项A正确；f(f(－1))＝f(2)＝0≠，选项B不正确；f(f(0))＝f(1)＝，选项C正确；f＝f＝eq
\s\up12(log2)＝2log22
019＝2
019，选项D正确．]
13．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是__________．
　[∵f(27)＝3，∴loga27＝3，解得a＝3.
∴f(x)＝log3x，∴f－1(x)＝3x.
所以f－1(log92)＝3＝3eq
\s\up12(log3)＝.]
14．把下面不完整的命题补充完整，并使其成为真命题．
若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)
[答案]　①x轴　－3－log2x
②y轴　3＋log2(－x)
③原点　－3－log2(－x)
④直线y＝x　2x－3
(答案不唯一，写出符合题意的一种即可)
15．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．
[解]　(1)要使函数有意义，必须ax－1>0，得ax＞1．
当a>1时，x>0；
当0∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，设0故0∴loga(ax1－1)∴f(x1)故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
类似地，当0(3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1，
∴x＝loga(ay＋1)．
∴f－1(x)＝loga(ax＋1)．
由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，
∴a2x－1＝ax＋1，
解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2.