4.5增长速度的比较练习题-2021-2022学年高中数学人教版B版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

增长速度的比较
一、选择题
1．已知函数f(x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1＞k2　　　　
B．k1＝k2
C．k1＜k2
D．不确定
2．函数f(x)＝在区间[1,4]上的平均变化率为(　　)
A．
B．
C．1
D．3
3．函数f(x)＝x2在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，其中Δx＞0，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1＜k2
B．k1＞k2
C．k1＝k2
D．无法确定
4．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26
m/s，则实数m的值为(　　)
A．2　
B．1
C．－1　　　　
D．6
5．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．2x＞xeq
\s\up12()＞lg
x
B．2x＞lg
x＞xeq
\s\up12()
C．xeq
\s\up12()＞2x＞lg
x
D．lg
x＞xeq
\s\up12()＞2x
二、填空题
6．函数f(x)＝xex在区间[1,3]上的平均变化率为________．
7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
8．函数y＝x2与函数y＝xln
x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log2x，分别计算这两个函数在区间[1,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．
10．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x.
(1)计算函数f(x)及g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率，并比较它们的大小；
(2)求使f(1＋Δx)＜g(1＋Δx)的Δx的取值范围．
素养达标
11．已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x
1
2
4
6
8
…
y1
2
4
16
64
256
…
y2
2
4
8
12
16
…
y3
0
1
2
2.585
3
…
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)
A．y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x
B．y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x
C．y1＝log2x，y2＝2x，y3＝2x
D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝2x
12．(多选题)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．
横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是(　　)
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资12天，采用方案二
13．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
14．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4
096个需经过________小时．
15．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1＞k2　　　　
B．k1＝k2
C．k1＜k2
D．不确定
B　[由平均变化率的几何意义知k1＝k2.故选B．]
2．函数f(x)＝在区间[1,4]上的平均变化率为(　　)
A．
B．
C．1
D．3
A　[＝，故选A．]
3．函数f(x)＝x2在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，其中Δx＞0，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1＜k2
B．k1＞k2
C．k1＝k2
D．无法确定
B　[∵＝＝x2＋x1，∴k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx.∴k1－k2＝2Δx.又∵Δx＞0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.故选B．]
4．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26
m/s，则实数m的值为(　　)
A．2　
B．1
C．－1　　　　
D．6
B　[由已知，得＝26，即(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．选B．]
5．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．2x＞xeq
\s\up12()＞lg
x
B．2x＞lg
x＞xeq
\s\up12()
C．xeq
\s\up12()＞2x＞lg
x
D．lg
x＞xeq
\s\up12()＞2x
A　[结合y＝2x，y＝xeq
\s\up12()及y＝lg
x的图像易知当x∈(0,1)时，2x＞xeq
\s\up12()＞lg
x．]
二、填空题
6．函数f(x)＝xex在区间[1,3]上的平均变化率为________．
　[＝
＝＝.]
7．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
f(x)＞g(x)　[在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像恒在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．]
8．函数y＝x2与函数y＝xln
x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
y＝x2　[当x变大时，x比ln
x增长要快，
∴x2要比xln
x增长的要快．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log2x，分别计算这两个函数在区间[1,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．
[解]　＝＝，
所以函数f(x)＝3x在区间[1,4]上的平均变化率为＝26.
＝＝，所以函数g(x)＝log2x在区间[1,4]上的平均变化率为＝＝.
因为26＞，所以函数f(x)＝3x在区间[1,4]上的平均变化率大于函数g(x)＝log2x在区间[1,4]上的平均变化率．
10．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x.
(1)计算函数f(x)及g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率，并比较它们的大小；
(2)求使f(1＋Δx)＜g(1＋Δx)的Δx的取值范围．
[解]　(1)函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝2.
函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝－2.
因为2＞－2，所以函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率大于g(x)在[－3，－1]上的平均变化率．
(2)f(1＋Δx)＝3＋2Δx，
g(1＋Δx)＝－2－2Δx，
解f(1＋Δx)＜g(1＋Δx)得Δx＜－，
即Δx的取值范围是.
素养达标
11．已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x
1
2
4
6
8
…
y1
2
4
16
64
256
…
y2
2
4
8
12
16
…
y3
0
1
2
2.585
3
…
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)
A．y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x
B．y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x
C．y1＝log2x，y2＝2x，y3＝2x
D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝2x
B　[从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．]
12．(多选题)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．
横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是(　　)
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资12天，采用方案二
ABC　[由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；
投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；
投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；
投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．]
13．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
y2　[从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．]
14．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4
096个需经过________小时．
3　[设1个细菌分裂x次后有y个细菌，则y＝2x，令2x＝4
096＝212，则x＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分钟)，即3小时．]
15．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
[解]　本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的投资更有利，5年后多得利息3.86万元.