6.3平面向量线性运算的应用练习题-2021-2022学年高中数学人教版B版（2019）必修第二册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 6.3平面向量线性运算的应用练习题-2021-2022学年高中数学人教版B版（2019）必修第二册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 254.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-05 12:15:55 | ||
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文档简介
平面向量线性运算的应用
一、选择题
1．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为( )
A．(9,1)
B．(1,9)
C．(9,0)
D．(0,9)
2．在△ABC中，若(＋＋)＝，则点G是△ABC的( )
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
3．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A．
B．
C．
D．
4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则a等于( )
A．2
B．1
C．
D．
5．炮弹的初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t为飞行时间)为( )
A．y＝|v0|t
B．y＝|v0|sin
θ·t－|g|t2
C．y＝|v0|sin
θ·t
D．y＝|v0|cos
θ·t
二、填空题
6．一艘船从O点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4
km/h，则河水的流速大小为________km/h.
7．如图所示，已知点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB交点P的横坐标x＝______，纵坐标y＝________.
8．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
三、解答题
9．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1
000
km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2
000
km，求飞机从B地到C地的位移．
10．如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
素养达标
11．如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A．
B．
C．
D．
12．点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，则实际风速的大小为________，方向是________风．
14．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，则t＝________.
15．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE.
一、选择题
1．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为( )
A．(9,1)
B．(1,9)
C．(9,0)
D．(0,9)
A [F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)，又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．]
2．在△ABC中，若(＋＋)＝，则点G是△ABC的( )
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
D [因为(＋＋)＝，所以－＋－＋－＝3，化简得＋＋＝0，故点G为△ABC的重心．]
3．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A．
B．
C．
D．
B [＋－＝＋＝.]
4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则a等于( )
A．2
B．1
C．
D．
A [设C(x，y)，则(x－7，y－1)＝2(1－x,4－y)???
∴3＝a×3?a＝2.故选A．]
5．炮弹的初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t为飞行时间)为( )
A．y＝|v0|t
B．y＝|v0|sin
θ·t－|g|t2
C．y＝|v0|sin
θ·t
D．y＝|v0|cos
θ·t
B [炮弹上升的速度的大小为|v0|sin
θ，所以上升的高度与时间t的关系是：y＝|v0|sin
θ·t－|g|t2.]
二、填空题
6．一艘船从O点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4
km/h，则河水的流速大小为________km/h.
2 [如图，||＝4，||＝2，
则||＝＝2.]
7．如图所示，已知点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB交点P的横坐标x＝______，纵坐标y＝________.
[设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t－3,4t)，
＝(2,1)－(3,0)＝(－1,1)．
由，共线得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，
解得t＝.∴＝(4t,4t)＝.
∴P点坐标为.]
8．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
等腰梯形 [由＝3e，＝5e，得∥，
又因为ABCD为四边形，≠，
所以AB∥DC，AB≠DC．
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．]
三、解答题
9．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1
000
km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2
000
km，求飞机从B地到C地的位移．
[解] 如图所示，设A地在东西基线和南北基线的交点处，
则A(0,0)，B(－1
000cos
30°，1
000sin
30°)＝(－500，500)，
C(－2
000cos
30°，－2
000sin
30°)＝(－1
000，－1
000)，
∴＝(－500，－1
500)，
∴||＝＝1
000(km)．
∴飞机从B地到C地的位移大小是1
000
km，方向是南偏西30°.
10．如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
[解] 设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，
＝＝(＋)＝(a＋b)，
所以＝－＝(a＋b)－xa＝a＋b，＝－＝yb－xa＝－xa＋yb，
因为与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.因为a与b不共线，
所以消去λ，得＋＝4，
所以＋为定值．
素养达标
11．如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A．
B．
C．
D．
A [设AB的中点是D(图略)，
∵＋＝2＝－，∴＝－，
∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的.]
12．点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
AD [∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，
∴||－|(－)＋(－)|＝0，
即||＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
由向量加法减法的几何意义知ABDC(＋＝)为矩形，∴⊥，
∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形．故选AD．]
13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，则实际风速的大小为________，方向是________风．
a 西北 [如图，设＝－a，
＝－2a，
∵＋＝，∴＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速．
∵＋＝，∴＝v－2a，
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，
由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△POB为等腰直角三角形．
∴PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风速是大小为a的西北风．]
14．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，则t＝________.
1 [＝2t(－)＋t，
(2t＋1)＝2t＋t，
∴＝＋.
∵A，B，P三点共线，∴＋＝1，∴t＝1．]
15．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE.
[证明] 如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1,1)，B(0,1)．
若设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1)．
又∵∥，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，
∴x＋y－1＝0.又∵||＝||，
∴x2＋y2－2＝0.
由得或(舍)．
即E.
又设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝共线得：x′－＝0，得x′＝－2－，∴F(－2－，1)，
∴＝(－1－，0)，＝，
∴||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(3),2))))＝1＋＝||，∴AF＝AE.
一、选择题
1．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为( )
A．(9,1)
B．(1,9)
C．(9,0)
D．(0,9)
2．在△ABC中，若(＋＋)＝，则点G是△ABC的( )
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
3．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A．
B．
C．
D．
4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则a等于( )
A．2
B．1
C．
D．
5．炮弹的初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t为飞行时间)为( )
A．y＝|v0|t
B．y＝|v0|sin
θ·t－|g|t2
C．y＝|v0|sin
θ·t
D．y＝|v0|cos
θ·t
二、填空题
6．一艘船从O点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4
km/h，则河水的流速大小为________km/h.
7．如图所示，已知点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB交点P的横坐标x＝______，纵坐标y＝________.
8．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
三、解答题
9．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1
000
km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2
000
km，求飞机从B地到C地的位移．
10．如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
素养达标
11．如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A．
B．
C．
D．
12．点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，则实际风速的大小为________，方向是________风．
14．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，则t＝________.
15．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE.
一、选择题
1．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为( )
A．(9,1)
B．(1,9)
C．(9,0)
D．(0,9)
A [F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)，又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．]
2．在△ABC中，若(＋＋)＝，则点G是△ABC的( )
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
D [因为(＋＋)＝，所以－＋－＋－＝3，化简得＋＋＝0，故点G为△ABC的重心．]
3．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A．
B．
C．
D．
B [＋－＝＋＝.]
4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则a等于( )
A．2
B．1
C．
D．
A [设C(x，y)，则(x－7，y－1)＝2(1－x,4－y)???
∴3＝a×3?a＝2.故选A．]
5．炮弹的初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t为飞行时间)为( )
A．y＝|v0|t
B．y＝|v0|sin
θ·t－|g|t2
C．y＝|v0|sin
θ·t
D．y＝|v0|cos
θ·t
B [炮弹上升的速度的大小为|v0|sin
θ，所以上升的高度与时间t的关系是：y＝|v0|sin
θ·t－|g|t2.]
二、填空题
6．一艘船从O点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4
km/h，则河水的流速大小为________km/h.
2 [如图，||＝4，||＝2，
则||＝＝2.]
7．如图所示，已知点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB交点P的横坐标x＝______，纵坐标y＝________.
[设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t－3,4t)，
＝(2,1)－(3,0)＝(－1,1)．
由，共线得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，
解得t＝.∴＝(4t,4t)＝.
∴P点坐标为.]
8．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
等腰梯形 [由＝3e，＝5e，得∥，
又因为ABCD为四边形，≠，
所以AB∥DC，AB≠DC．
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．]
三、解答题
9．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1
000
km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2
000
km，求飞机从B地到C地的位移．
[解] 如图所示，设A地在东西基线和南北基线的交点处，
则A(0,0)，B(－1
000cos
30°，1
000sin
30°)＝(－500，500)，
C(－2
000cos
30°，－2
000sin
30°)＝(－1
000，－1
000)，
∴＝(－500，－1
500)，
∴||＝＝1
000(km)．
∴飞机从B地到C地的位移大小是1
000
km，方向是南偏西30°.
10．如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
[解] 设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，
＝＝(＋)＝(a＋b)，
所以＝－＝(a＋b)－xa＝a＋b，＝－＝yb－xa＝－xa＋yb，
因为与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.因为a与b不共线，
所以消去λ，得＋＝4，
所以＋为定值．
素养达标
11．如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A．
B．
C．
D．
A [设AB的中点是D(图略)，
∵＋＝2＝－，∴＝－，
∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的.]
12．点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
AD [∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，
∴||－|(－)＋(－)|＝0，
即||＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
由向量加法减法的几何意义知ABDC(＋＝)为矩形，∴⊥，
∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形．故选AD．]
13．某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，则实际风速的大小为________，方向是________风．
a 西北 [如图，设＝－a，
＝－2a，
∵＋＝，∴＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速．
∵＋＝，∴＝v－2a，
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，
由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△POB为等腰直角三角形．
∴PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风速是大小为a的西北风．]
14．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，则t＝________.
1 [＝2t(－)＋t，
(2t＋1)＝2t＋t，
∴＝＋.
∵A，B，P三点共线，∴＋＝1，∴t＝1．]
15．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE.
[证明] 如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1,1)，B(0,1)．
若设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1)．
又∵∥，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，
∴x＋y－1＝0.又∵||＝||，
∴x2＋y2－2＝0.
由得或(舍)．
即E.
又设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝共线得：x′－＝0，得x′＝－2－，∴F(－2－，1)，
∴＝(－1－，0)，＝，
∴||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(3),2))))＝1＋＝||，∴AF＝AE.