沪教版（上海）高一数学上册 2.5 不等式的证明_1 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
一、复习比较两个实数大小的主要方法：
(1)作差比较法：作差——变形——与0比较大小
(2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小
例1.求证：
证：∵
≥
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是
多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法
二、比较法证明不等式：
例2.已知
都是正数，并且
求证
证明：
∵
都是正数，
并且
即：
1.本题变形的方法—通分法
2.本题的结论反映了分式的一个性质：若
都是正数，
当
时，
当
时，
例3.
已知
都是正数，并且
，
求证：
证明：
∵
都是正数，
∴
又∵
即：
本题变形的方法—
因式分解法
小结：
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。
利用已经证明过的不等式(如均值不等式及其变形式)和
不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法
叫做综合法。
三、综合法证明不等式：
例4.已知
是不全相等的正数，求证：
证明：∵
三式中不能
全取“=”号，从而①②③式也不能全取“=”号，
由例5可得一个重要的不等式：
=1
小结：
综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式
的逻辑关系是：
为证明过的
不等式，
要证的不等式）。
即综合法是：由因导果
从求证的不等式出发，分析寻找使这个不等式成立的
充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件
是否具备的问题。如果最后能够肯定这些条件都已具备，
那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常
叫做分析法。
四、分析法证明不等式：
例1.已知
都是正数，并且
求证
证明：
∵
都是正数，
本题的结论反映了分式的一个性质：若
都是正数，
当
时，
当
时，
为了要证明
只需证明
因此，只需证明
例2.
求证：.
所以为了证明
只需证明
展开得
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困
难。例如，在例2中我们很难想到从”21<25“入手。
在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用
分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证
明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
分析法的思路是“执果索因”，即从求证的不等
式出发，不断地充分条件来代替前面的不等式，直
至找到已知的不等式为止。
例3.证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的
面积大。
证明：设周长为
依题意，圆的面积为
正方形的面积为
所以本题只需证明
为了证明上式成立，只需证明
因此只需证明
上式是成立的，所以
这就证明了，如果周长相等，那么
圆的面积比正方形的面积大。
证明不等式的主要方法
一、比较法:
二、分析法:
三、综合法:
综合法证明不等式是“由因导果”
分析法证明不等式是“由果导因”
四、其它方法:
反证法
换元法
放缩法
课堂小结: