沪教版（上海）高一数学上册 1.2 集合之间的关系_5 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
开始
集合间的基本关系
学点一
学点二
学点三
学点四
2.(1)对于两个集合A，B，若
,则称集合A与集合B相等.
（2）如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x
A，则称集合A是集合B的
，记作
.
（3）不含任何元素的集合叫做
，记作
,并规定：空集是任何集合的子集.
1.一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素
都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集
合A为集合B的
，记作
.
子集
真子集
空集
B?A
A?
B
或
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3.任何一个集合是它本身的
，即
；对于集合
A，B，C，如果
，且
，那么
.
子集
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学点一
集合间的关系
集合A={
(x,y)|y=
}，集合B={(x,y)|y=x-1},集合A，B有什么关系？
【分析】本题主要考查集合与集合之间关系的判断能力.
【评析】判断A是否为B的真子集应严格执行两步：一是
，即A的元素
全在B中；二是A≠B，即B中至少有一个元素不在A中，两者缺一不可.
【解析】集合A的元素是函数y=
=x-1(x≠-1)图象上的点，是一
条直线上去掉了点(-1,
-2)后剩余的所有点，集合B的元素是函数y=x-1(x∈R)图象上的所有点.
显然，集合A的所有元素都在集合B中，即有
，而集合A≠B，所以有A
B，即A是B的真子集.
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判断下列集合A与B的关系：
（1）A={x|0B={x|-1（2）A={(x,y)|xy>0},
B={(x,y)|x>0,y>0};
（3）A={a∈R|a≥0},
B={a∈R|方程x2+x-a=0有实根}
解：（1）因为0.
（2）因为xy>0
x>0,y>0或x<0,y<0,由x>0,y>0?
xy>0,所以B
A
（3）因为方程x2+x-a=0有实根，
所以Δ=1+4a≥0,解得a≥
,
B
=
,
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【评析】（1）写出集合的所有子集时,一定按顺序、规律写出,避免遗漏或重复;
(2)一般地,如果一个集合有n个元素,则子集有2n个,非空子集有2n
-1个.
【解析】(1)
;
(2)一个元素的子集:{a},{b},{c};
(3)两个元素的子集:{a,b},{a,c},{b,c};
(4)三个元素的子集:{a,b,c}.
综上，{a,b,c}的子集有
,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.
写出集合{a,b,c}的子集.
【分析】按集合中元素的个数分类写,以防遗漏、重复.
学点二
子
集
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∵P
?M,∴P是M的子集，而M中有四个元素，∴M的子集有
=16个.故集合N的元素个数为16个.
故应选C.
已知集合M={a,b,c,d},N={P|P?M},则集合N的元素个数为(
)
A.4个
B.8个
C.16个
D.32个
C
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【评析】两集合相等指元素个数不但相同，而且元素还完全相等，求解此类问题要注意集合性质的运用.
学点三
集合的相等
【分析】依题意所给两个集合相等，依集合相等的条件列式求解，但应注意元素的顺序可以不同.
含有三个实数的集合可表示为｛a,
,1｝,也可表示为{a2,a+b,0},求a,b.
【解析】由集合中元素的确定性,得
{a,
,1
}
={a2,a+b,0}①
从而有0∈
{
a,
,1
}.
∵a≠0,
∴
=0,
∴b=0.
将b=0代入①得{a,0,1}={a2,a,0}.易知a2=1,∴a=±1.
当a=1时,
{
a,
,1}={1,0,1}与集合中元素的互异性矛盾,舍去;
当a=-1时,b=0.
∴a=-1,
b=0.
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解：由题意得
解得
由集合中元素的互异性知
已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N.求a,b的值.
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【解析】A={x|x2+4x=0}={-4,0},
∵B?A,∴分B=A，B
A两种情况讨论.
（1）当A=B时，B={-4,0},
即-4,0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，于是得a=1.
（2）当B
A时，若B=
,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1;
若B≠
，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
验证知B={0}满足条件.
综上可知，所求实数a的值为a=1或a≤-1.
设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R}，若B?A，求实数a的值.
【分析】B?A可分为B
A,B=A两种情况.
A={0,-4}，因此，
关键是对x2+2(a+1)x+a2-1=0的根的情况讨论.
学点四
子集的应用
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【评析】（1）当B
A时，要特别注意B=
的情况不能漏
掉，否则就会得出a=±1
的错误结论.
（2）分类讨论要结合实际，做到不重、不漏.此题既有集合的讨论，又有一元二次方程根的讨论，有时需对结果进行验证.
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设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|
ax-2=0}，若B
A,求实数a组成的集合.
解：由题意得A
=
{1,2},B={x|
ax-2=0},
∴当a=0时，B=
A;
当a≠0时，B={
}?
A,
∴
=1或
=
2,∴a=2或a=1.
综上，可知当B
A时，实数a组成的集合为{0,1,2}.
本学案在学习中应注意以下几个问题:
(1)由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以在看到类似“A?
B”“A
B”“B≠
”这种相关条件时,要注意讨论A=
和A≠
的情况.
(2)要注意区分一些容易混淆的符号.
①“∈”与“?”的区别:∈表示元素与集合之间的从属关系,例如1∈N,
-1
N等;
“
”表示集合与集合之间的包含关系,例如N?R,
?R等.
②“a”与“{a}”的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合.
③“{0}”与“
”的区别:“{0}”是含有一个元素0的集合,
是不含任何元素的集合,因此，
与{0},不能写成
={0},
∈{0}.
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2.怎样用Venn图和数轴来理解集合的关系？
用Venn图表示集合具有直观、形象的特点，这种方法严格地说应称为示意法，有一定的局限性，但它的直观性能帮助人们思考，是集合问题的一种解法，
要在后面学习中不断体会它的重要性.
图示如下：
④子集、真子集的区别:如果A是B的子集,即A?B,那么存在两种情况:一是A=B,一是A
B,二者必居其一;反之,若A
B,也可以说A?B;A=B也可以说成A?B.
(3)非空集合A={x1,x2,…,xn}有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
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概念
Venn图
数轴
子集
真子集
集合相等
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1.理解子集、真子集的概念,正确运用有关的术语、符号和图示方法,正确区分术语“包含于”与“包含”及符号“?
”与“
”的不同意义.
2.空集就是不含任何元素的集合,空集对高中数学的“危害”不亚于数“0”对初中数学的“危害”,要处处设防,时刻提高警惕,才不致于掉进空集这一陷阱之中,另外还要注意0,
，{0}三者之间的区别和联系.即0是元素,
,{0}是两个集合;0
,0∈{0},
和{0}是两个不同的集合.
3.掌握子集的有关性质:
(1)
?A(空集是任何集合的子集,当然也是空集的子集,且是任何非空集合的真子集);
(2)A?
A(任何非空集合A都有两个特殊的子集
,A);
(3)传递性:若A?
B,B
?C,则A?
C;
(4)相等:若A
?B,且B
?A,则A=B(即相等的两个集合的元素完全相同).
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4.有些集合问题比较抽象,解题时若借助Venn图进行数形分析，或利用数轴、图象采取数形结合的思想方法，往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷的获解.
5.对于和实数有关的集合问题,借助于数轴将集合语言转化为图形语言,观察图形使问题获解.可见,数形结合思想是解决数学问题的重要思想方法.
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