沪教版（上海）高一数学上册 1.5 充分条件，必要条件_2 教案

充分条件，必要条件
【教学目标】
理解充要条件的意义，能在简单的问题情境中判断条件的充分必要性；掌握判断命题的条件的充要性的方法；在充要条件的学习过程中，形成等价转化思想。
【教学重难点】
理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价（充要）关系的判断既是本节重点，也是本节难点。
【教学过程】
一、复习引入
问：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？
答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。
练习：判断下列各命题条件的充分性和必要性。
（1）若x>0则x2>0（充分不必要条件）。
（2）若两个角相等，则两个角是对顶角。（必要不充分条件）。
（3）若三角形的三条边相等，则三角形的三个角相等。（充分必要条件）。
（4）若x是4的倍数，则x是6的倍数。（既不充分又不必要条件）。
（5）若a，b为实数，，则。（充分必要条件）。
二、概念形成
1．结合问题进行说明：命题（3）中：因为三角形的三条边相等三角形的三个角相等，所以“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相等三角形的三条边相等，所以“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的必要条件。因此“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”既充分又必要的条件。
2．充要条件定义。
一般地，如果既有α?β，又有β?α，就记作：α?β（“?”叫做等价符号），那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，我们称为α是β的充分而且必要条件，简称充要条件。
说明：
①可以解释为α?β，α与β互为充要条件。
②可以进一步解释为：有它必行，无它必不行。
③可以结合实例解释为：如|x|
=
|y|与x2
=
y2互为充要条件，即若|x|=|y|，则一定有
x2
=
y2；若|x|≠|y|，则一定有x2≠y2。
三、概念运用与深化（例题解析）
例1：指出下列各组命题中，α是β的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？（补充例题。）
（1）α：（x-2）（x-3）=0；β：x-2=0；
（2）α：同位角相等；β：两直线平行；
（3）α：x=3；β：x2=9；
（4）α：四边形的对角线相等；β：四边形是平形四边形。
解：
（1）因x-2=0（x-2）（x-3）=0，而：（x-2）（x-3（=0?x-2=0），所以α是β的必要而不充分条件。
（2）因同位角相等?两直线平行，所以α是β的充要条件。
（3）因x=3x2=9，而x2=9?x=3，所以α是β的充分而不必要条件。
（4）因四边形的对角线相等?四边形是平行四边形，又四边形是平四边形?四边形的对角线相等。所以α是β的既不充分也不必要条件。
说明：
①可组织学生通过讨论解答各题。
②等价关系与推出关系一样具有可传递性，充要条件间的关系即等价关系，可通过多次等价关系传递性得证，这也是证明充要条件问题的一种基本方法。
例2：已知实系数一元二次方程（），“”是“方程有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？
解：方程变形为。
∵；
∴；
∴“”是“方程有两个相等的实数根”的充分条件。
反过来，方程有两个相等的实数根，那么根据方程根与系数关系得：
；
∴；
∴“”是“方程有两个相等的实数根”的必要条件。
综上所述“”是“方程有两个相等的实数根”的充要条件。
说明：充分性证明：条件?结论；必要性证明：结论?条件。
四、巩固练习
1．判断下列各命题条件是否是充要条件：
（1）x是6的倍数，则x是2的倍数。（充分不必要条件）。
（2）x是2的倍数，则x是6的倍数。（必要不充分条件）。
（3）x既是2的倍数也是3的倍数，则x是6的倍数。（充要条件）。
（4）x是4的倍数，则x是6的倍数。（既不充分又不必要条件）。
2．完成下列表格。
α
β
α是β的什么条件
ab≠0；
a≠0；
（x+1）（y-2）=0；
x=-1或y=2；
方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实根；
△=b2-4ac>0；
x=1或x=-3；
x2+2x-3=0；
a2-b2=0；
a=0；
m是4的倍数。
m是2的倍数。
五、课堂小结
内容小结：
本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果α?β，又有β?α，则α是β的充要条件。
方法小结：
如何判断充要条件。
判别步骤：
①认清条件和结论。
②考察p?q和q?p的真假。
判别技巧：
①可先简化命题。
②否定一个命题只要举出一个反例即可。
③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
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