沪教版（上海）高一数学上册 2.4 基本不等式及其应用_2 教案

基本不等式及其应用
【教学目标】
（一）知识目标：
1．引入两个基本不等式：，，并给出几何解释。
2．能够利用基本不等式比较大小或求代数式的取值范围。
（二）能力目标：
掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力。
（三）情感目标：
体会数学公式的内在联系，提高学习数学的兴趣。
【教学重难点】
1．引入两个基本不等式：，，并给出几何解释。
2．能够利用基本不等式比较大小或求代数式的取值范围。
【教学过程】
1．基本不等式1：对于任意实数，有，当且仅当时等号成立。
证明：
当时，；当时，；
所以，当且仅当时，的等号成立。
（理解
“当且仅当”的含义）
【例1】已知，求证：，当且仅当时等号成立。
证法一：（作差比较）
，
当且仅当时等号成立。
证法二：（利用基本不等式1）
，当且仅当时等号成立。
思考题：用不等符号连接三者的大小：
2．基本不等式2：对于任意正数，有，当且仅当时等号成立。
思考：
1）如何证明这个不等式；
2）不等式的使用前提，一定要是正数；
3）勿忘等号成立的条件；
我们把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数。基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
基本不等式2的几何意义：
如图，，
以之和为直径的半圆中，半径的长度垂线段的长度。
【例2】已知，求的最小值，并指出满足什么条件时取到最小值。
解：因为，所以与均正，，即最小值为，
当且仅当时取到最小值。
【变式】若改为，则有怎样的最值？
解：有最大值，当且仅当时取到最大值。
【例3】
（1）代数式与的大小关系是：
（2）当时，与的大小关系是：
（3）代数式与的大小关系是：
【课堂练习】
1．已知实数，判断下列不等式中哪些是一定正确的？
（1）
正确
（2）
正确
（3）
错误
2．设，求的取值范围。
3．设，比较与的大小、与的大小，你能对基本不等式1进行推广吗？
解：对于任意实数，有，当且仅当时等号成立；有，当且仅当时等号成立。因此。
【作业布置】
1．如果，且，那么下列不等式中正确的是
（
D
）
A．
B．
C．
D．
2．设，则下列各式中正确的是
（
A
）
A．
B．
C．
D．
3．函数的最小值是
（
D
）
A．4
B．2
C．
D．不能确定
4．已知，比较的大小。
解：，当且仅当时等号成立。
5．已知，求证：，并指出等号成立的条件。
6．已知，，求证：，并指出等号成立的条件。
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