第一章 勾股定理单元质量检测试卷B（含解析）

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北师大版2021-2022学年八年级（上）第一章勾股定理检测试卷B
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1.
以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
2.
如图，长方体的长为
，宽为
，高为
，点
距点
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
爬到点
去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是
．
A.
B.
C.
D.
3.
如图所示，一张直角三角形纸片，两直角边
，．现将
折叠，使点
与点
重合，折痕为
，则
的长为
A.
B.
C.
D.
4.
如图，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，以点
为圆心，
的长为半径画弧，交
轴的负半轴于点
，则点
的横坐标为
A.
B.
C.
D.
5.
下列各组数中，能作为直角三角形边长的是
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
6.
在下列由线段
，，
的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
7.
如图，长方形
中，点
在边
上，将长方形
沿直线
折叠，点
恰好落在边
上的点
处，若
，，则
的长是
A.
B.
C.
D.
8.
【例
】如图，长方体的长为
，宽为
，高为
，点
离点
的距离为
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
爬到点
，需要爬行的最短距离是
A.
B.
C.
D.
9.
已知一个等边三角形的边长为
，则以它的高为边长的正方形的面积为
A.
B.
C.
D.
10.
如图所示，将一根长为
的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端
和
，然后把中点
竖直地向上拉升
至
点，则拉长后橡皮筋的长度为
A.
B.
C.
D.
11.
如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出
，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部
，由此可计算出学校旗杆的高度是
A.
B.
C.
D.
12.
如图，一圆柱高
，底面半径为
，一只蚂蚁从点
爬到点
处吃食，要爬行的最短路程是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13.
如图，
是
的中线，，，把
沿
翻折，使点
落在
的位置，则
为
?．
14.
若三角形的三边长分别是
，，（其中
为自然数），则此三角形的形状为
?．
15.
如图，已知圆柱体底面的半径为
，高为
，，
分别是两底面的直径．若一只小虫从
点出发，沿圆柱侧面爬行到
点，则小虫爬行的最短路线长度是
?（结果保留根号）．
16.
如图，长方体的长、宽、高分别为
，，．如果用一根细线从点
开始经过
个侧面缠绕一圈到达点
，那么所用细线最短需要
?
．
17.
在
中，，，
边上的高
，则
的长为
?．
18.
如图，点
，
分别在
的边
，
上，将
沿直线
翻折，设点
落在点
处，如果当
，
时，点
，
的距离为
，那么折痕
的长为
?．
三、解答题（共7小题；共60分）
19.
（8分）根据图中信息证明
是直角三角形．
20.
（8分）如图，有一个水池，水面是一个边长为
米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面
米．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问这个水池的深度与这根芦苇的长度分别是多少?
21.
（8分）如图，有一个长方体纸盒，若长方体纸盒的长为
，宽为
，高为
，求
点到
点的表面最短距离（结果精确到
．参考数据：，，）．
22.
（10分）在
中，，，，点
，
分别是斜边
和直角边
上的点，把
沿着直线
折叠，顶点
的对应点是点
．
（1）如图①，如果点
和点
重合，求
的长；
（2）如图②，如果点
落在直角边
的中点处，求
的长．
23.
（10分）我国古代数学家赵爽曾用图①证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．
年在北京召开的国际数学家大会（）的会标（图②）是由“弦图”演变而来的．“弦图”由
个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．请你根据图①解答下列问题：
（1）叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
（2）证明勾股定理；
（3）若大正方形的面积是
，小正方形的面积是
，求
的值．
24.
（8分）如图，在
中，，，，求
边上的高
的长．
25.
（8分）如图，某市进行老城区道路改造，原来从小明家
地到商场
地需要沿着
连续多次直角拐弯行进，造成出行困难．行走各段路程数据如图所示，道路改造后可从小明家
地直达商场
地．求从小明家到商场的路程比原来缩短了多少米．
答案
第一部分
1.
C
【解析】A．，能组成直角三角形；
B．，能组成直角三角形；
C．，不能组成直角三角形；
D．，能组成直角三角形．
2.
A
【解析】把左侧面展开到水平面上，连接
，如图
，
（）；
把右侧面展开到正面上，连接
，如图
，
（）；
把向上的面展开到正面上，连接
，如图
，
（）；
，
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
爬到点
，需要爬行的最短距离为
．
3.
B
【解析】因为
，
所以
，
所以
，
又由折叠可知
．
故选B．
4.
C
【解析】由勾股定理得，，
由题意得
，
则点
的横坐标为
．
5.
D
6.
B
7.
A
【解析】
由
翻折而成，
，
在
中，，，
，
，
．
故选A．
8.
B
【解析】将长方体展开，连接
，，
根据两点之间线段最短，
（）如图
，
，，
由勾股定理得：．
（）如图
，
，，
由勾股定理得，．
（）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图
：
长方体的宽为
，高为
，点
离点
的距离是
，
，，
在直角三角形
中，根据勾股定理得：
；
由于
，
故选：B．
9.
B
10.
B
【解析】在
中，，．
根据勾股定理，得
，
所以
．
同理可得
，
所以
，
故拉长后橡皮筋的长度为
．
11.
C
12.
C
【解析】如图为圆柱的侧面展开图，
为
的中点，则
就是蚂蚁爬行的最短路径．
，
．
，
，
即蚂蚁要爬行的最短路程是
．
第二部分
13.
14.
直角三角形
【解析】
三角形的三边长分别是
，，（其中
为自然数），
，
此三角形是直角三角形．
15.
【解析】将圆柱的侧面沿
剪开并铺平得长方形
，连接
，如图．
线段
就是小虫爬行的最短路线．
根据题意得
．
在
中，由勾股定理，得，
．
所以
．
16.
17.
或
【解析】分两种情况讨论：
（）如图，
在锐角
中，
，，
边上的高
，
在
中，，，
由勾股定理得
，
，
在
中，，，
由勾股定理得
，
，
的长为
；
（）如图，
在钝角
中，
，，
边上的高
，
在
中，，，
由勾股定理得
，
，
在
中，，，
由勾股定理得
，
，
的长为
．
故答案为
或
．
18.
第三部分
19.
因为
，，，
所以
，
所以
，即
是直角三角形．
20.
设水池的深度为
米，则芦苇的长度为
米，结合图形，
由勾股定理，得
，
即
．
解得
，这时
，
即水池的深度为
米，芦苇的长度为
米．
21.
由题意可得，
点到
点的表面距离有以下
种情况．
①如图
，
连接
，此时
就是
点到
点的表面距离．
，，，
在
中，由勾股定理，得
，
．
②如图
，
连接
，此时
就是
点到
点的表面距离，
，，，
在
中，由勾股定理，得
，
．
③如图
，
连接
，此时
就是
点到
点的表面距离，
，，，
在
中，由勾股定理，得
，
．
，
点到
点的表面最短距离约为
．
22.
（1）
设
，则
．
由折叠可知
，由勾股定理，得
．
解得
，即
的长是
．
??????（2）
点
落在
的中点处，
．
设
，类比（）中的解法，可列出方程
，
解得
．即
的长为
，
．
23.
（1）
勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．
在直角三角形中，两条直角边长分别为
，，斜边长为
，则
．
??????（2）
因为
，，，
所以
，即
．
??????（3）
因为
，
所以
．
所以
．
24.
设
，则
．
在
中，．
在
中，．
所以
．
解得
．
所以
．
25.
如图所示，过点
作
于
．
则在
中，
（米），
（米），
故改造后小明家与商场的距离
米．
因为改造前小明家与商场的距离为
米，
所以缩短的距离为
米．
答：从小明家到商场的路程比原来缩短了
米．
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精品试卷·第
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