江苏省苏州市吴中区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

江苏省苏州市吴中区2020-2021学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1.
已知复数，其中a，，i虚数单位，则（
）
A.
-5
B.
-1
C.
1
D.
5
2.
已知向量，，当取最大值时，锐角的值为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
4.
中，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
-11
5.
在中，，，，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
6.
骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，、、均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
7.
对向量
，
定义一种运算“”：
，已知动点P在定义域为的曲线上，点Q在曲线上运动，且（其中为O坐标原点），若，，若，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
8.
在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（
）
A.
B.
2
C.
1
D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
已知复数，则下列结论正确的有（
）
A.
B.
C.
D.
10.
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（
）
A.
B.
C.
D.
盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
11.
如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，则以下说法正确的有（
）
A.
恒有成立
B.
恒有成立
C.
若，，则
D.
若，，则
12.
在中，，M是中点，以下说法正确的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，，则
D
若，则当取得最大值时，
三、填空题（每题5分，共20分）
13.
已知单位向量，夹角为60°，与垂直，则k的值为________．
14.
设，是平面内的一组基底，若，、，则________；复数（i为虚数单位）的模是________．
15.
已知外接圆半径为，且满足，，则的值为________．
16.
设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则取值范围是________．
四、解答题（17题10分，18-22题12分，共70分）
17.
已知的内角的对边分别为，且．
（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求的值；
①，；②，.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
（2）若，，求的面积．
18.
如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求的值；
（2）若，求的取值范围.
19.
已知，，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
20.
由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．6月初政府在个别地区推行地摊经济、小店经济以刺激消费和促进就业．某商场经营者吴某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界，的距离分别为，，（m为长度单位）．吴某准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（1）求线段长；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．
21.
函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）求函数的解折式；
（2）在中，角满足，且其外接圆的半径，求的面积的最大值．
22.
设偶函数（为常数）且的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，，，且的图象关于直线对称和点对称，若在上单调递增，求和的值．
江苏省苏州市吴中区2020-2021学年高一下学期期中数学试卷
答案版
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1.
已知复数，其中a，，i虚数单位，则（
）
A.
-5
B.
-1
C.
1
D.
5
答案：B
2.
已知向量，，当取最大值时，锐角的值为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
3.
已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
4.
中，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
-11
答案：C
5.
在中，，，，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
6.
骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，、、均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
7.
对向量
，
定义一种运算“”：
，已知动点P在定义域为的曲线上，点Q在曲线上运动，且（其中为O坐标原点），若，，若，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
8.
在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（
）
A.
B.
2
C.
1
D.
答案：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
已知复数，则下列结论正确的有（
）
A.
B.
C.
D.
答案：ACD
10.
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（
）
A.
B.
C.
D.
盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
答案：ABD
11.
如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，则以下说法正确的有（
）
A.
恒有成立
B.
恒有成立
C.
若，，则
D.
若，，则
答案：AD
12.
在中，，M是中点，以下说法正确的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，，则
D
若，则当取得最大值时，
答案：ABD
三、填空题（每题5分，共20分）
13.
已知单位向量，夹角为60°，与垂直，则k的值为________．
答案：
14.
设，是平面内的一组基底，若，、，则________；复数（i为虚数单位）的模是________．
答案：
①.
1
②.
2
15.
已知外接圆半径为，且满足，，则的值为________．
答案：
16.
设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则取值范围是________．
答案：
四、解答题（17题10分，18-22题12分，共70分）
17.
已知的内角的对边分别为，且．
（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求的值；
①，；②，.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
（2）若，，求的面积．
答案：（1）；（2）
18.
如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上.
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求的值；
（2）若，求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
19.
已知，，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）；（2）.
20.
由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．6月初政府在个别地区推行地摊经济、小店经济以刺激消费和促进就业．某商场经营者吴某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界，的距离分别为，，（m为长度单位）．吴某准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（1）求线段长；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．
答案：（1）；（2）当时，三角形面积取最小值为．
21.
函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）求函数的解折式；
（2）在中，角满足，且其外接圆的半径，求的面积的最大值．
答案：（1）sin（2）
22.
设偶函数（为常数）且的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，，，且的图象关于直线对称和点对称，若在上单调递增，求和的值．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ），．