北京市2022届高三上学期入学定位考试数学试题（Word版含答案）

2021—2022学年北京市新高三入学定位考试
数学
2021.8
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.在复平面内，复数满足，则（
）
A.
B.
C.1
D.
3.函数的定义域为，则“，”是“函数为偶函数”的（
）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为.若，则（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知函数，则下列可以使得恒成立的的值是（
）
A.
B.
C.
D.
6.已知，，，则这三个数的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
7.二项式的化简结果为（
）
A.
B.
C.
D.
8.把函数的图象向左平移个单位长度，所得函数在上单调递增，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
9.直线与抛物线：交于，两点，若，则，两点到抛物线的准线的距离之和为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
10.已知数列是单调递增数列，且.若，则（
）
A.9
B.10
C.11
D.12
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知双曲线：，若，则双曲线的离心率是
.
12.函数的零点个数为
.
13.已知单位向量，满足.则，的夹角大小为
；若，写出一个满足题意的向量的坐标
.
14.已知圆：.若直线上存在一点，使得经过点与圆相切的两条切线互相垂直，则的最小值为
.
15.记正方体的八个顶点组成的集合为.若集合，满足，，，使得直线，则称是的“保垂直”子集.
给出下列三个结论：
①集合是的“保垂直”子集；
②集合的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；
③若是的“保垂直”子集，且中含有5个元素，则中一定有4个点共面.
其中所有正确结论的序号是
.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题13分）如图，在长方体中，，，点在线段上，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
17.（本小题13分）在中，，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）在下面三个条件中选择一个作为已知，求的面积.
条件①；条件②；条件③.
注：如果选择条件①，条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题14分）某公司生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为提高净化器的质量，现从甲种型号的净化器中随机抽取了400件产品，从乙种型号的净化器中随机抽取了100件产品，并对抽出的样本进行产品性能质量评估.该公司将甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器评估综合得分按照，，，分组，绘制成评估综合得分频率分布直方图如图：
甲种型号产品评估综合得分频率分布直方图
乙种型号产品评估综合得分频率分布直方图
（Ⅰ）从公司生产的乙种型号净化器中随机抽取一件，估计这件产品的评估综合得分不低于80分的概率；
（Ⅱ）从两种型号的样本净化器中各随机抽取一件，以表示这两件中综合得分不低于80的件数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计400件甲种型号的净化器评估综合得分的平均值为，估计100件乙种型号的净化器评估综合得分的平均值为，同时估计上述抽取的500件净化器评估综合得分的平均值为，试比较和的大小.
小强数学（结论不要求证明）
19.（本小题15分）已知函数，其中.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数，使得不等式的解集为，求的取值范围.
20.（本小题15分）已知椭圆：，直线经过椭圆的左焦点与其交于点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）已知点，，直线，与直线分别交于点，.若，求直线的方程.
21.（本小题15分）给定正整数，对于一个由个非负整数构成的数列：，如果存在非负整数，，使得，且，则称数列为“数列”.
（Ⅰ）判断数列：1，2，3，4和：1，3，4，2是否为“数列”；
（Ⅱ）若数列：为“数列”，求证：为定值；
（Ⅲ）求所有正整数，使得存在1，2，…，的一个排列：，且为“数列”.
2021—2022学年北京市新高三入学定位考试
数学参考答案及解析
2021.8
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.B
解析：画数轴，注意求的是交集，选B.
2.A
解析：，选A.
3.B
解析：后推前，明显成立，
前推后，举反例符合条件，但不是偶函数，选B.
4.D
解析：，即，所以，选D.
5.C
解析：正余弦函数，使恒成立的可以为，此题，，当时，，选C.
6.D
解析：，，，故，选D.
7.D
解析：，选D.
8.B
解析：数形结合，当时，，单调递增，
且函数的对称轴为，故左移1个大于1个单位即符合题意，选B.
9.C
解析：由题，与抛物线交于，两点，即抛物线方程为，
故距离之和为，选C.
10.B
解析：由于此题答案唯一，故可代符合题意的数列即可.
因为数列递增，且，故可令，
则，即，故，选B.
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.2
解析：，故，所以.
12.1
解析：数形结合，画出，看两个函数的交点个数，有1个交点，
故零点个数为1.
13.或
解析：向量相乘得0，两向量垂直，故，夹角为；
单位圆中，
故或.
14.2
解析：找临界.取，此时两条切线垂直，此时.
15.②
解析：首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合是的“保垂直”子集.
注意，正方体的两条体对角线不垂直哦.
对于①，当取体对角线时，找不到与之垂直的直线，①错误；
对于②，当8个点任取6个点时，一定满足题意，且此时必有4点共面，②正确；
对于③，举反例即可，如，③错误.
填②.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.解：（Ⅰ）在正方体中，
因为，
且平面，平面
所以平面.
（Ⅱ）在正方体中
因为底面
所以.
又，且
所以平面
所以
（Ⅲ）因为正方体
所以，，两两垂直
以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为正方体
所以平面法向量为，
由（Ⅱ）知，平面法向量为
所以
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为.
17.解：（Ⅰ）在中，因为，
且，，，
所以.
所以，.
（Ⅱ）选条件①：.
因为，由正弦定理，
得.
又，
所以，所以，
因为，
所以，或者.
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，，
所以.
选条件②：
在中，
因为，由正弦定理，
得，
又，所以，
所以
因为，所以，所以
因为，且，所以
所以，所以，
所以，，
所以.
选条件③
在中，因为，由正弦定理，，
因为，所以，
所以，所以
因为，所以，所以
所以，所以，
所以，，
所以.
18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，100件乙种型号的净化器评估综合得分不低于80分的频率为，所以从公司生产的乙种型号净化器中随机抽取一件，
这件产品的评估综合得分不低于80分的概率大约为0.1.
（Ⅱ）的所有可能值为0，1，2.
所以，
.
所以的分布列为
0
1
2
0.72
0.26
0.02
故的数学期望.
（Ⅲ）.
（，，）
19.解：由得.
（Ⅰ）所以.
又因为.
故所求的切线方程为.
（Ⅱ）因为
令，得，，
此时，随的变化如下：
0
0
极大值
极小值
由题意，要想存在实数，使得不等式的解集为
只需或
因为，
所以
所以的取值范围为.
20.解：（Ⅰ）由题设，得.
又，所以.
所以椭圆的方程为.
所以椭圆的离心率为.
（Ⅱ）依题意，设，.
当直线无斜率时，方程为，所以
由平面几何知识可以得到，，不合题意.
当直线有斜率时，设
由得.
则，.
直线的方程为.
令，得点的纵坐标.
同理可得点的纵坐标.
解得或
所求直线的方程为或.
21.解：（Ⅰ）不是“数列”，是“数列”.
（Ⅱ）因为
当为偶数时，
当为奇数时，
所以为定值0
（Ⅲ）若1，2，3，…，的一个排列：为“数列”，则
，
即，所以为偶数.
又或时，为奇数，
所以或.
①若时，取排列：，
此时对应的
满足题意，所以符合题意；
②若时，取排列：
此时对应的
满足题意，所以符合题意.
综上所述：或.