2021-2022学年湘教版数学九年级上册3.4.2相似三角形的性质 同步练习(word解析版)

相似三角形的性质
一、单选题
1．如图，在中，，，，是上一点，，，垂足为，则（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．如图，在中，点D，E分别是边和的中点，则与的面积之比为（
）
A．1∶4
B．1∶3
C．1∶2
D．1∶1
3．如图，，若与相似，则等于（
）
A．
B．
C．或
D．或
4．如图，D是的边延长线上一点，且，直线分别交于E，F．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在△ABC中，E是线段AC上一点，且AE：CE＝1：2，过点C作CD∥AB，交BE的延长线于点D．若△BCE的面积等于4，则△CDE的面积等于（　　）
A．8
B．16
C．24
D．32
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，DC、AE交于点F，则S△DEF：S△ACF＝（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，且，EC交对角线BD于点F，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在中，，E为中点，连接，，若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图中，，D为上任意点，且，则值为（
）
A．
B．
C．3
D．
10．如图，在?ABCD中，E为AC的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是8，则△BCF的面积为（
）
A．16
B．18
C．24
D．36
11．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（　　）
A．150°
B．147°
C．135°
D．120°
12．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（　　）
A．1：4
B．1：9
C．1：16
D．1：25
13．如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点F在DE上，CF＝CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G．下列结论：①GF＝GD；②AG＞AE；③AF⊥DE；④DF＝3EF；⑤∠ADF＝30°正确的是（　　）
A．①③
B．①②③
C．①③④
D．①③④⑤
14．两个相似三角形的面积比为1：16，则它们对应边的比是（
）
A．1：16
B．1：8
C．1：4
D．4：1
15．在，且面积比为4：9，则其对应边上的高的比为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
16．如图，是的中线，是的中点，连接．若的面积为1，则四边形的面积为_________．
17．如图，在中，CD，BE是的两条中线，则的值为____________．
18．如图，点E是?ABCD边AD的中点，连接AC、BE交于点P，过点P作PQAD交CD于点Q，若AB＝3，则DQ＝___．
19．如图，在中，，若，，的面积分别为，，，则的面积为________．
20．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH＝___．
三、解答题
21．如图，已知，是的两条中线，P是它们的交点．求证：．
22．如图，在中，是延长线上一点，交于点，已知，求的面积．
23．如图，在中，，，，，，，求：
（1）与的度数；
（2）的长．
24．如图，在中，点、分别在边，上，，线段分别交线段，于点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
25．如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且．
（1）求证：△CDE∽△ACB；
（2）当DA∶EA＝时，求△CDE与△ABC的面积比．
26．已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，．
求证：（1）四边形ABCD为矩形；
（2）BE?DQ＝FQ?PE．
参考答案
1．C
解：∵ED⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：AE＝4．
故选：C．
2．A
解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴；
故选：A；
3．D
解：①当时，
则，
即：，
所以要使，只要等于，
当②时，
则，
即：，
解得：，
所以要使，只要等于，
综上可知：或，
故选：D．
4．B
解：如图，作交于．
∴△AEP∽△ABC，△EPF∽△DCF，
，
，
，
，
5．A
解：∵△BCE中CE边上的高和△ABE中AE边上的高相等，且AE：CE＝1：2，
∴S△BCE＝2S△ABE，
∵S△BCE＝4，
∴S△ABE＝×4＝2，
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝＝．
∴S△CDE＝8，
故答案选：A．
6．D
解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
8．A
解：过点D作DFAC于F，如图，
在中，，E为中点，
．
9．D
解：∵，∠CAD=∠BAC=90°，
∴△CAD∽△BAC，
∴，
设，则，解得，
故选：D．
10．B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
．
，
，
．
∵△AEF的面积是8，
∴△BCF的面积为，
故选：B．
11．B
解：∵△ABC∽△DCA，
∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DCA＝∠B＝33°，
∴∠DAC＝180°﹣117°﹣33°＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝147°，
故选：B．
12．B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△BGE，
∴，
∵AE＝BE，
∴AF＝BG＝BC，
∴
∵AD∥BC，
∴△AFO∽△CGO，
∴，
即S△AOF：S△COG＝1：9，
故选：B
13．C
解：（1）连接CG，?如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵FG⊥FC，
∴∠GFC=90°，
在Rt△CFG与Rt△CDG中，CG＝CG，CF＝CD
∴RtΔCFG≌RtΔCDG(HL)，
∴GF=GD，
故①正确．
（2）由（1），CG垂直平分DF，
∴∠EDC+∠2=90°，
∵∠1+∠EDC=90°，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB，∠DAE=∠CDG=90°，
∴ΔADE≌ΔDCG(ASA)，
∴AE=DG，
∵E为AB边的中点，
∴G为AD边的中点，
∴AG=AE，
故②错误．
（3）由（2），得GF=GD=GA，
?∴∠AFD=，
故③正确．
（4）由（3），可得ΔAEF∽ΔDAF∽ΔDEA，
?∴，?
∴DF=2AF=4EF，
故④正确．
（5）由（4）知DF=2AF，可得AD=AF，
∴，
故⑤错误．
故选：C．
14．C
解：∵两个相似三角形的面积比为1：16，
∴它们的对应边的比＝1：4.
故选：C．
15．C
解：∵，且面积比为4：9，
∴和的相似为2:3，
故对应边上的高的比为2:3，
故选：C．
16．
解：
故答案为：
17．
解：
CD，BE是的两条中线，
是的中位线，
故答案为：
18．1
解：四边形为平行四边形，
，，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为1．
19．405
解：∵DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，
∴△ADE∽△EFG∽△GIC，
∴S△ADE：S△EFG=AE2：EG2=20：45，
∴AE：EG=2：3，
∴S△EFG：S△GIC=EG2：GC2=45：80，
∴EG：GC=3：4，
∴AE：AC=2：9，
而△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=AE2：AC2=4：81，
∴S△ABC=×20=405cm2．
故答案为：405．
20．2
解：∵D、E为边AB的三等分点，
∴，
∵EF∥DG∥AC，
∴，，
∴，，
∵AC＝12，
∴，
∴；
故答案为2．
21．见解析
解：证明：连接，如图：
，是的两条中线．
、是AB、AC的中点．
且．
．
．
．
22．18
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，且CD∥AB，
∴△CDF∽△BEF，
∵，
∴，
∴，即，
解得S△CDF＝18．
23．（1）∠AED=∠C=75°；（2）
解：（1）∵∠A=65°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED=∠C=75°，
（2）由（1）知，△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴BC=．
24．（1）见解析；（2）
（1）解：，．
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
，
．
25．（1）见解析；（2）
解：（1）∵CD是直角△ABC斜边上的中线，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠DCA＝∠A．
在△ADE中，∠DEC＝∠A＋∠ADE．
又∠ADE＝∠B－∠A，即∠B＝∠A＋∠ADE，
∴∠DEC＝∠B．
∴△CDE∽△ACB．
（2）令EA＝k，DA＝，CE＝x．
由△CDE∽△ACB，
得，即，
解得，（舍）．
所以．
26．（1）见解析；（2）见解析
解：（1）∵四边形ADFE是菱形，
∴AF⊥DE，
∴∠EPF＝90°，
∵，∠PFE＝∠AFB，
∴△ABF∽△EPF，
∴∠ABE＝∠EPF＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EF，
∴EC+CF＝BE+CE，
∴BE＝CF，
∵∠DPF＝∠QCF＝90°，∠CQF＝∠PQD，
∴△DPQ∽△FCQ，
∴，
∴，
∴BE?DQ＝FQ?PE．