2021-2022学年湘教版八年级数学上册《第2章三角形》同步能力达标测评(word解析版)

2021-2022学年湘教版八年级数学上册《第2章三角形》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（　　）
A．SAS或SSS
B．AAS或SSS
C．ASA或AAS
D．ASA或SAS
2．如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为（　　）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF中有两个内角相等，则∠A的度数为（　　）
A．30°或40°
B．40°或50°
C．50°或60°
D．30°或60°
4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（　　）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
5．如图，D，E分别是△ABC边BC，AB边上的中点，F是AD上一点且3AF＝FD，若阴影部分的面积为9，则△ABC的面积是（　　）
A．16
B．
C．8
D．12
6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（　　）
A．20°
B．30°
C．45°
D．50°
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（　　）
A．
B．1
C．
D．2
9．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠E＝90°，则∠BDC的度数为（　　）
A．120°
B．125°
C．130°
D．135°
10．如图，点C为线段AB上一动点（点C不与点A，B重合），分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACD和△BCE，连接BD，AE；BD分别交AE，CE于点F，N；AE交CD于点M，连接MN，则下列结论错误的是（　　）
A．∠AFD＝60°
B．CM＝CN
C．△BCN≌△ECM
D．∠AMD＝∠BNE
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，将△ABC沿DE、DF翻折，使顶点B、C都落于点G处，且线段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，则∠A＝　
　度．
12．如图，BD是△ABC的中线，CE是△DBC的中线．若△ABC的面积是12，则△EBC的面积是
　
　．
13．如图，点E在AB上，点F在AC上．若AE＝AF，AB＝AC，且BF＝5，DE＝1，则DC＝　
　．
14．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E．若∠DBC＝15°，则∠A＝　
　．
15．如图，已知∠ABC、∠ACB的外角平分线交于D点．∠A＝40°，那么∠D＝　
　．
16．如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则的t值为
　
　秒．
17．将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，则∠EDB＝　
　°．
18．在△ABC中，∠A＝55°，高BE、CF所在的直线相交于点O，则∠BOC度数为
　
　°．
19．已知AD是△ABC的高，BD＝1，AD＝4，△ABC的面积为12，则CD＝　
　．
20．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为30°，则底角∠B的度数是
　
　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
22．如图，△ABE的边AB和△DCF的边CD在同一条直线上，AE∥DF，∠E＝∠F．
（1）求证：BE∥FC；
（2）若AC＝DB，求证：AE＝DF．
23．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，点E在BC边上，连接CD，DE．已知∠ACD＝∠BDE，CD＝DE．
（1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AD＝3，BD＝5，求CE的长．
24．已知△ABC中，∠ACB＝∠DCE＝α，AC＝BC，DC＝EC，且点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60°时，求出∠AEB的度数．
（2）如图2，当α＝90°时，若∠CBE＝∠BAE，CF＝2，AB＝8，求△ABF的面积．
25．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在线段BE上截取ED＝EC，AD的延长线交BC于点P，联结DC．
（1）请说明AD＝BC的理由；
（2）请说明BP＝PC的理由．
26．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系，并说明理由；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系，并说明理由。
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D．
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS．
故选：C．
2．证明：∵CF∥AB，
∴∠1＝∠F，∠2＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6.5，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6.5＝2.5，
故选：C．
3．解：①当AE＝AF时，则∠AFE＝∠AEF＝（180°﹣∠A），
∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，
∴∠AFD＝120°，
∴（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝40°．
②当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，
同法可得180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝50°．
③当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意．
综上所述，∠A＝40°或50°，
故选：B．
4．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝120°﹣40°＝80°，∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝60°﹣20°＝40°，
∴∠A﹣∠P＝80°﹣40°＝40°，
故选：D．
5．解：设S△AFC＝a，
∵3AF＝FD，
∴S△FDC＝3a，
∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝4a，
∵E是AB的中点，
∴S△AED＝S△BED＝2a，
∵FD＝3AF，
∴S△EFD＝a，
∵阴影部分的面积为9，
∴a+3a＝9，
解得：a＝2，
∴S△ABC＝8a＝8×2＝16．
故选：A．
6．解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故选：C．
7．解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝＝2×55°＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
8．解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴，
∴AE＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，
，
∴△BEC≌△HEA（AAS），
∴AE＝CE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，
故选：B．
9．解：在△BEC中，
∵∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，
∴∠DBC＝∠EBC，∠DCB＝∠ECB，
∴∠DBC+∠DCB＝×90°＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝135°，
故选：D．
10．解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝180°﹣∠ECB＝120°，
∴∠ACE＝∠DCB，∠CAE+∠AEC＝180°﹣∠ACE＝60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠CBD，
∴∠AFD＝∠CAE+∠CBD＝∠CAE+∠AEC＝60°，
故A不符合题意；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAM＝∠CDN，
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN＝60°，
在△ACM与△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM＝CN，
故B不符合题意；
在△BCN和△ECM中，
，
∴△BCN≌△ECM（ASA），
故C不符合题意；
∵∠AMD＝∠CAE+∠ACM＝60°+∠CAE，∠BNE＝∠BCN+∠CBD＝60°+∠CBD，∠CAE≠∠CBD，
∴∠AMD≠∠BNE，
故D符合题意；
故选：D．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：连接BG、CG，如图所示：
由折叠的性质得：BD＝CD＝GD，
∴∠BGC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，
又由折叠的性质得：EG＝EB，FG＝FC，
∴∠EBG＝∠EGB，∠FGC＝∠FCG，
∵∠AEG＝2∠EBG，∠AFG＝2∠FCG，∠AEG+∠AFG＝54°，
∴2∠EBG+2∠FCG＝54°，
∴∠EBG+∠FCG＝27°，
∴∠ABC+∠ACB＝∠EBG+∠FCG+∠GBC+∠GCB＝27°+90°＝117°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣117°＝63°，
故答案为：63．
12．解：∵BD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△CBD＝S△ABC＝12＝6，
∵CE是△DBC的中线．
∴S△EBC＝S△DEC＝S△BDC＝6＝3，
则△EBC的面积是3．
故答案为：3．
13．解：在△BAF和△CAE中，
，
∴△BAF≌△CAE（SAS），
∴BF＝CE，
∵BF＝5，DE＝1，
∴DC＝CE﹣DE＝BF﹣DE＝5﹣1＝4，
故答案为：4．
14．解：设∠A＝x，
∵DE垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x，
∴∠ABC＝15°+x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝15°+x，
在△ABC中，根据三角形内角和等于180°得，
15°+x+15°+x+x＝180°，
解得x＝50°．
故答案为：50°．
15．解：∵∠A＝40°，∠ABC+∠A+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC+∠CBF＝180°，∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠ABC+∠CBF+∠ACB+∠BCE＝360°，
∴∠CBF+∠BCE＝360°﹣140°＝220°，
∵BD平分∠CBF，CD平分∠BCE，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠CBF+∠BCE）＝110°，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣110°＝70°，
故答案为70°．
16．解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8﹣4＝4，
∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8+4＝12，
∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，
点E的运动时间为16÷2＝8（秒），
故答案为：2，6，8．
17．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，
∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，
故答案为75．
18．解：本题要分两种情况讨论如图：
①当交点在三角形内部时（如图1），
在四边形AFOE中，∠AFC＝∠AEB＝90°，∠A＝55°，
根据四边形内角和等于360°得，
∠EOF＝180°﹣∠A＝180°﹣55°＝125°．
故∠BOC＝125°．
②当交点在三角形外部时（如图2），
在△AFC中，∠A＝55°，∠AFC＝90°，
故∠1＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
∵∠1＝∠2，
在△CEO中，∠2＝35°，∠CEO＝90°，
∴∠EOF＝180°﹣90°﹣35°＝55°，即∠BOC＝55°．
故答案为：125或55．
19．解：①当△ABC是锐角三角形时，如图所示：
∵AD是△ABC的高，BD＝1，AD＝4，△ABC的面积为12，
∴，
，
，
解得：CD＝5；
②当△ABC是鈍角三角形时，如图所示：
∵AD是△ABC的高，BD＝1，AD＝4，△ABC的面积为12，
∴，
，
解得：BD＝6，
∴CD＝BC+BD＝1+6＝7．
综上所述：CD＝5或7．
故答案为：5或7．
20．解：当△ABC为锐角三角形时，
如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，
∵∠ADE＝30°，DE⊥AB，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝60°；
当△ABC为钝角三角形时，
如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，
∵∠ADE＝30°，DE⊥AB，
∴∠DAB＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠C＝∠DAB，
∴∠B＝30°；
综上可知∠B的度数为60°或30°，
故答案为：60°或30°．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，
∴∠ABD＝∠CBE．
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，
∵△ADB≌△CEB，
∴∠BAD＝∠BCE＝15°，
∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．
22．（1）证明：AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵∠E＝∠F，
∴∠A+∠E＝∠D+∠F，
∵∠EBC＝∠A+∠E，∠FCB＝∠D+∠F，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥FC；
（2）证明：∵AC＝BD，
∴AC﹣BC＝BD﹣BC，
∴AB＝DC，
在△ABE与DCF中，
，
∴△ABE≌DCF（AAS），
∴AE＝DF．
23．解：（1）AC＝BD，理由如下：
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（AAS），
∴AC＝BD；
（2）由（1）知：△ADC≌△BED，
∴AC＝BD＝5，BE＝AD＝3，
∴BC＝AC＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝2．
24．解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CFA＝∠BFE，
∴∠AEB＝∠ACF＝60°．
（2）同理可证△ACD≌△BCE，
∴∠CAF＝∠CBE，
∵∠CBE＝∠BAE，
∴∠CAF＝∠BAE，
∴AF平分∠CAB，
∵FC⊥AC，CF＝2，
∴点F到AB的距离＝CF＝2，
∴S△ABF＝?AB?CF＝×8×2＝8．
25．解：（1）∵BE⊥AC，，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴BE＝AE，
在△BCE和△ADE中，
，
∴△BCE≌△ADE（SAS），
∴AD＝BC．
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，BE＝AE，EC＝ED，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠EBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC﹣∠EBA＝∠ACB﹣∠DCE，即∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD，
∴PD为线段BC的垂直平分线，
∴BP＝PC．
26．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝26°．
（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝90°+（∠B+∠D）．
（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，
在四边形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，
在四边形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，
①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，
∴∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．