2021-2022学年湘教版数学九年级上册3.4.1相似三角形的判定 同步练习（word版含答案）

相似三角形的判定
一、单选题
1．下列命题中，假命题为（
）
A．锐角三角形和钝角三角形一定不相似
B．直角三角形都相似
C．两条直角边成比例的两个直角三角形相似
D．如果一个三角形的3条高与另一个三角形的3条高对应成比例，那么这两个三角形相似
2．如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（
）
A．①④
B．①③
C．②③
D．②④
3．如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，要使∽，需补充的条件不能是（
）
A．
B．
C．
D．
5．平面直角坐标系中，直线和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
6．如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．若是斜边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（
）条．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知在△ABC中，AB=6，AC=4，点P
是AC的中点，过P的直线交AB于Q，若想得到以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为（
）
A．3
B．或
C．3或
D．10
9．下列说法中，错误的是（
）
A．所有的等边三角形都相似
B．所有的矩形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的正方形都相似
10．如图，四边形，四边形，四边形都是正方形，图中与相似的三角形为（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在中，点D、E分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图，、是锐角两边、上的高，它们交于点，图中共有几对相似三角形（
）
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
13．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）
A．
B．
C．
D．
14．如图所示，是上的点，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．以上都不对
15．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（
）
A．
B．
C．是的中点
D．
二、填空题
16．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．
17．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
18．如图，在与中，，点在上，若只添加一个条件便能判定，则添加的条件是____．
19．如图，当∠AED=_______时，△ADE与△ABC相似．
20．如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．
三、解答题
21．如图，与交于点，，，，，求证：．
22．如图，点是上的一点且，，求证：．
23．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
求证：△ABC∽△DEC.
24．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
25．如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6.
试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长.
26．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE
=∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
参考答案
1．B
解：A、锐角三角形和钝角三角形一定不相似，是真命题，不符合题意；
B、直角三角形不一定相似，故原命题是假命题，符合题意；
C、两条直角边成比例的两个直角三角形相似，是真命题，不符合题意；
D、如果一个三角形的3条高与另一个三角形的3条高对应成比例，那么这两个三角形相似，是真命题，不符合题意，
故选：B．
2．B
解：三角形①的三边分别为；三角形②的三边分别为：；三角形③的三边分别为；三角形④的三边分别为：．显然三角形①③的三边成比例，即，即三角形①③相似．
故选：B．
3．D
解：，
，
、若，且，可判定，故选项不符合题意；
、若，且，可判定，故选项不符合题意；
、若，且，可判定，故选项不符合题意；
、若，且，无法判定，故选项符合题意；
故选：．
4．D
解：∵
∴当或或时，∽，
故选：D．
5．C
解：如图，
①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等），
②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似．
③作∠AOP3=∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似．
④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似．
故选C．
6．C
解：A．，不能判定的两个三角形相似，不符合题意；
B．竖向确定三角形△ACD与△ABC，夹角与∠B不一定相等，横向确定三角形△ABC与△CBD，夹角∠A与∠DCB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意，
C．由变形得，，由∠BAC=∠CAD，则，
可以根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定，符合题意；
D．竖向确定三角形△ADC与△BCD，夹角与∠DCB不一定相等，横向确定三角形△ADC与△ACB，夹角∠ADC与∠ACB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意；
故选择：．
7．C
解：由于是直角三角形，
过点作直线截，则截得的三角形与有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，
过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共3条直线．
故选：．
8．B
解：分两种情况讨论
第一种情况，如下图
当，即，得AQ=3时，得△APQ∽△ACB；
第二种情况，如下图
当，即，得AQ=时，得△APQ∽△ABC；
∴AQ的长为或．
故选：B．
9．B
解：A．所有的等边三角形都相似，故本选项选项为真命题；
B．所有的矩形不一定相似，如一个矩形的长宽之比为，另一个矩形的长宽之比为，故本选项选项为假命题；
C．所有的等腰直角三角形都相似，故本选项选项为真命题；
D．所有的正方形都相似，故本选项选项为真命题．
故选：B
10．A
解：设正方形ABGH的边长为1，
∴DF=，DG=，
∴GF：DF：DG=1：：，
A、DF=，DH=，HF=2，DF：HF：DH=GF：DF：DG，
则△DFG∽△HFD，符合题意；
B、HG=1，DG=，DH=，HG：DG：DH≠GF：DF：DG，
则△DFG和△DGH不相似，不符合题意；
C、△DEG是直角三角形，△DFG是钝角三角形，故不相似，不符合题意；
D、△DEH是直角三角形，△DFG是钝角三角形，故不相似，不符合题意；
故选A．
11．B
解：①在和中，，
，则条件①能满足；
②，
，则条件②不能满足；
③在和中，，
，则条件③能满足；
④由得：，
对应的夹角与不一定相等，
此时和不一定相似，则条件④不能满足；
综上，能满足的条件有2个，
故选：B．
12．D
解：先找出相似的三角形由△ABF，△ACE，△DBE，△DCF，
△ABF与△ACE，△DBE，△DCF都相似，有3对，
△ACE与△DBE，△DCF都相似，有2对，
△DBE与△DCF都相似，有1对，
相似的三角形共有3+2+1=6对．
故选择：D．
13．C
解：∵∠BAC=∠D，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
14．B
解：∵∠ADC=∠BAC，∠ABC=∠DAC，
∴△ABC∽△DAC．
故选：B．
15．C
解：A.
，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意；
B.
，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，可以得到∽，不合题意；
C.
是的中点，无法判断与相似，符合题意；
D.
，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，可以得到∽，不合题意．
故选：C
16．3
解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C
∴∠APG＝∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
则图中相似三角形有3对，
故答案为：3．
17．①③④
解：在△AEF和△ABC中
∵，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，
∴①正确；
不正确，理由是：假设，
∵△AEF≌△ABC
∴∠AFD=∠C，AF=AC，
∴△ACF≌△AFD，
∴∠DAF=∠FAC，
原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，
∴②错误；
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，
∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，
∴④正确；
故答案为：①③④
18．（答案不唯一）．
解：依据两角相等，两三角形相似，可添加条件
故答案为：（答案不唯一）．
19．∠ACB或∠ABC
解：∵∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，
即可证明，△ADE与△ABC相似，
故答案为：∠ACB或∠ABC．
20．或1.5
解：分两种情况：
第一种情况：如图，过D作DE||AC于点E，
则；
第二种情况：如图，ΔADEΔACB
则
故答案为．
21．见解析.
解：∵，，
∴，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
22．见解析.
解：：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴．
23．见解析
解：∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴.
∴.
∵DE∥AC.
∴.
∴.
∵，CE⊥CD，
∴
.
∴△ABC∽△DEC.
24．见解析.
解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，
∴∠ABE=∠ACD
又∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC
∴∠DAC=∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
25．（1）证明见解析；（2）DE=4.5
解：⑴
∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6，
∴AB=8，AC=10，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
⑵
∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵BC=9，
∴DE=4.5.
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
解：（1）∵∠ABE
=∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．