第二章 分解因式复习

(共36张PPT)
因式分解
复习课
学习目标：
（1）掌握因式分解的方法与步骤。
（2）掌握提公因式法、公式法分解
因式的综合运用。
（3）提高观察、比较、判断的能力
分解因式的注意事项：
1、判断一个多项式是否是分解因式，要看其结果是否是“几个整式的积的形式”。
2、分解因式与整式乘法是互逆关系。
3、分解因式的结果必须分解到不能再分解为止。
4、分解因式的结果中的每个因式中的第一项不允许是负项，如出现负项，要提出负号。
5、分解因式时，若出现相同的因式，一般写成幂的形式。
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，
也叫分解因式。
因式分解
基本概念
我们学习了因式分解，请同学们想一下我们学习了几种因式分解的方法：
2、公式法：
1、提公因式法：
完全平方公式
ma+mb+mc= m(a+b+c)
平方差公式
a2-b2= (a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
我们知道，对于公式：其中的a,b不只是单项式，也可以是多项.
3、把一个多项式进行因式分解的步骤是什么？
因式分解的一般步骤可简单概括为：
一提 二套 三 验
二套：是指套平方差公式与完全平方公式
三验：是指验证结果是否分解到每个因式不能再分解为止
一提：是指提公因式
提问：什么是因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
练习：1、下列从左到右是因式分解的是（ ）
A. x(a－b)=ax－bx B. x2 －1+y2=(x－1)(x+1)+y2
C. x2－1=(x+1)(x－1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c
C
2、下列因式分解中，正确的是（ ）
A．3m2－6m=m(3m－6) B．a2b+ab+a=a(ab+b)
C．－x2+2xy－y2=－(x－y)2 D．x2+y2=(x+y)2
C
提问：多项式的因式分解总共有多少种？
答：两种；分别是：提取公因式法；公式法。
因式分解的步骤怎样？
答：1、首先考虑提取公因式法；
2、第二考虑公式法。
3、因式分解要分解到不能再分解为止。
例如：3x2y4-27x4y2
=3x2y2(y2-9x2)
=3x2y2(y-3x)(y+3x)
例如：分解因式x4-y4 =(x2+y2 )(x2-y2 )对吗？
如何分解？
小结：因式分解的步骤：
1、首先考虑提取公因式法；
2、第二考虑公式法。
3、因式分解要分解到不能再分解为止。
因式分解的规律：
1、首先考虑提取公因式法；
2、两项的在考虑提公因后多数考虑平方差公式。
3、三项的在考虑提公因后考虑完全平方公式。
4、多于三项的在考虑提公因后，考虑分组分解。
5、分解后得到的因式，次数高于二次的必须再考虑是否能继续分解，确保分解到不能再分解为止。
提取公因式法
1、 中各项的公因式是
__________。
公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
3xy2
找公因式的方法：1：系数为 ；
2、字母是 ；
3、字母的次数 。
各系数的最小公倍数
相同字母
相同字母的最低次数
练习：①5x2－25x的公因式为 ；
②－2ab2＋4a2b3的公因式为 ，
③多项式x2－1与(x－1)2的公因式是 。
5x
-2ab2
x-1
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提取公因式法
练习：
1、把多项式m2(a－2)+m(2－a)分解因式等于（ ）
A．(a－2)(m2+m) B．(a－2)(m2－m)
C．m(a－2)(m－1) D．m(a－2)(m+1)
C
2、把下列多项式分解因式
(1)
(2)
(3)
公式法
公式法：利用平方差和完全平方公式，将多项式因式分解的方法。
a2-b2=
(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=
(a+b)2
a2-2ab+b2=
(a-b)2
练习：1、分解因式 =___________________。
2、分解因式 =____________________。
3、分解因式 =____________________。
4、分解因式 =_____________。
5、分解因式 =　　　　　　。
6、式子16+kx+9x2是一个完全平方，则k＝ 。
)
y
x
(
25
)
y
2
x
(
4
、
7
2
2
-
-
+
＝ 。
一、选择题：
1、下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A、
B、x2-2x+1=x(x-2)+1
C、
D、
D
巩固深化
2.下列多项式中能用公式法进行因式分
解的是( )
A. x2 + 4 B. x2 + 2x + 4
C. x2 – x + D. x2 – 4x
C
巩固深化
1. a2 - a + = (a - )2
2. c2 – ( )2 = (c + a – b) (c – a + b)
a – b
3. 已知4x2 – mx + 9是完全平方式, 则
m的值是（ ）
二、填空题：
巩固深化
±12
1、⑴ 若
，求
⑵ 若
，求
的值？
的值
三、解答题：
2 . 说明两个连续奇数的平方差能被8整除。
巩固深化
四、分解因式：
1、36a2b2-4a4
4、(x2-3) 2+2(3-x2)+1
5、x4-8y2(x2-2y2)
6、xn+2-2xn+1+xn
(n为大于1的整数)
3、(b2+c2)2-4b2c2
2、-x2-4xy-4y2
巩固深化
在一个边长为acm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积？如果a=3.6 , b=0.8呢？
a=3.6
b=0.8
五、实际应用：
家庭收纳盒的制作与计算
六、拓展延伸：
① 2a+4b-3ma-6mb
②
③ 若一个矩形的周长为16cm，它的两边长为acm,bcm,且满足4a-4b-a2+2ab-b2-4=0 ,求它的面积？
简化计算
(1)562+56×44 (2)1012 - 992
变式
若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；
◆不论a、b为何数，代数式a2+b2-2a+4b+5的值总是 （ ）
A.0 B.负数 C.正数 D.非负数
D
练习：
1、下列各多项式中，可用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4 B．a2－2a C．－a2+4 D．－a2－4
2、分解因式：(x2+y2)2－4x2y2
3、分解因式：x2(y－1)+(1－y)
4、分解因式：(a－b)(3a+b)2+(a+3b)2(b－a)
5、分解因式：x(x+y)(x-y)-x(x-y)2
6、分解因式：(a+2b)2-2(a+2b)(b-2a)+(2a-b)2
若9x2＋2(a－4)x＋16是一个完全平方式,则a的值 　　　　 .
例题：已知多项式2x3-x2-13x+k分解因式后有一个因式为2x+1。求k的值。
提示：因为多项式2x3-x2-13x+k有一个因式是2x+1，所以当2x+1＝0时，多项式2x3-x2-13x+k＝0，
即：当x＝ 时，多项式2x3-x2-13x+k＝0。
将x＝ 带入上式即可求出k的值。
练习：已知a+b= ，ab＝ ，求a3b+2a2b2+ab3的值。
1、判断正误，如不恰当请改正过来：
(1)、a4-1 (2)、a3-2a2+a
=(a2+1)(a2-1) =a(a2-2a+1)
2、下列多项式是不是完全平方式？为什么？如是请加 以分解。
（1）a2-4a+4
(5)1+4a2
(3)4b2+4b-1
(4)a2+ab+b2
(2)m2+6mn+9n2
(6)x6-10x3-25
3、把下列各式因式分解
(4)4a2-b2
(2)ab2-a2b
(1)8m2n+2mn
(5)x2+4x+4
思维再现
◆多项式9x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的平方,则加上的单项式可以是_____________________(填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况).
±6x、
-9x2 、
-1、
把下列各式进行因式分解
(2) 7502-2502
(1)x-xy2
(3)9x3-18x2+9x
(4)ax2-2a2x+a3
把下列各式进行因式分解
（1）25a2-(b+c) 2 (2)(x+y)2+6(X+y)+9
把下列各式因式分解：
一、填空题：
1、（2a+1)(2a-1)=______
2 、(3a-2b)2=9a2+___+4b2
3 二项式9x2+1加上一个单项式后成为一个整 式的完全平方，符合条件的一个单项式是____
4、b2+mb+9 =(b-3)2，那么m=___
5、6ab3-2a2b2+4a3b各项的公因式是_____
二、选择：
6、下列各项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A、x2+4y B、x2-2x+4
C、x2+4 D、
7、下列属于因式分解的是（ ）
A、2x3÷x=2x2 B、9x2+4x2=13x2
C、(x+2)(x-2)=x2-4 D 、 4x2-4x+1=(2x-1)2
三、解答题：
8、把下列各式进行因式分解：
（1）、12abc-3bc2 (2)、12a2-3b2
(3)、9xy3-6x2y2+x3y (4)、(m-n)2+4mn
(5)、(a-4)(a+1)+3a (6)、4+12(x-y)+9(x-y)2
(7)、
9、学校有两块正方形的草坪，第二块草坪的周长比第一
块的周长少16米，它们的面积差为80平方米,
求这两块正方形草坪的边长。
谈谈你的收获！
3、计算中应用因式分解,可使计算简便
2、公式中的a、b既可以是单项式，也可以是
多项式。
1、对于一个多项式，应该先看它有几项，含有哪 些字母，各项有没有公因式，如有先提取公因 式，提出公因式后能否再用公因式法继续分解，即要分解彻底；如没有公因式就直接用公式法分解。因式分解进行到每一个因式不能再分解为止。