13.4 课题学习 最短路径问题同步练习（含解析）

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13.4课题学习
最短路径问题同步练习
一．选择题
1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（　　）
A．B．
C．D．
2．如图，∠AOB＝60°，点M为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（　　）
A．120°
B．60°
C．30°
D．90°
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
5．如图，等边△ABC，边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为（　　）
A．1
B．2
C．4
D．8
6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（　　）
A．B．
C．D．
7．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）
A．86°
B．54°
C．88°
D．90°
二．填空题
8．如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选　
　点（C或D）．
9．如图∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是　
　．
10．如图，锐角△ABC的边AC＝6，△ABC的面积为15，AD平分∠BAC交BC于D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　
　．
11．小镇A与B在公路同侧，如图，A到公路的距离为45里，要在公路边建一个货站，及货站到A、B的两条乡道，经计算，两条乡道总长最短可为140里，此时两条乡道的夹角为120°，则B到公路的距离为　
　里．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝16，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是　
　．
三．解答题
13．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP+PQ+QN最短．
14．如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．
（1）直接写出点B的坐标为　
　；
（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小；
（3）∠OAP＝　
　度．
15．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（3）四边形BCC1B1的面积为　
　．
16．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8．点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请你在横线上补充其推理过程或理由．
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′，
因为∠ACB＝90°（已知），
所以
　
　（垂直的定义），
所以PB＝　
　（线段垂直平分线的性质），
所以PB+PD＝PB′+PD（等式性质），
所以过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′．
在△ABC和△AB′C中，
因为∠ACB＝∠ACB′＝90°，AC＝AC，　
　，
所以△ABC≌△AB′C（理由：　
　），
所以SABB′＝S△ABC+　
　＝2S△ABC（全等三角形面积相等），
因为S△ABB′＝×AB×B'D＝×10×B′D＝5B′D，
又因为S△ABB′＝2S△ABC＝2××BC×AC＝2××6×8＝48，
所以
　
　（同一三角形面积相等），
所以B′D＝，
所以
　
　．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠AMN的度数是　
　．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
18．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD＝12，试求PC+PE的最小值．
答案与解析
一．选择题
1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（　　）
A．B．
C．D．
【解析】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
∴AP+PB≥A'P，
∴当A、P、B三点共线时PA+PB最小，
故选：B．
2．如图，∠AOB＝60°，点M为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（　　）
A．120°
B．60°
C．30°
D．90°
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，
∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2∠O，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠O，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠O＝60°，
故选：B．
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　）
A．B．C．D．
【解析】解：分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是D选项，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
【解析】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BCC'中，C'F＝BC'?sin30°＝8×＝4，
∴CE+EF的最小值为4，
故选：B．
5．如图，等边△ABC，边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为（　　）
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】解：
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，
∴C△ADE＝3AD，
当△ADE周长最小时，
即AD最小，
当AD⊥BC时，AD最小，
此时，BD＝AB＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠1+∠2＝60°，
又∵∠2+∠3＝60°，
∴∠1＝∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝4，
故选：C．
6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（　　）
A．B．
C．D．
【解析】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），
只要AM+BN最短就行，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
7．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）
A．86°
B．54°
C．88°
D．90°
【解析】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，
则AM＝PM，AN＝QN，
所以，∠P＝∠PAM，∠Q＝∠QAN，
所以，△AMN周长＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ，
由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，
∵∠BAE＝136°，
∴∠P+∠Q＝180°﹣136°＝44°，
∵∠AMN＝∠P+∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q+∠QAN＝2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠P+∠Q）＝2×44°＝88°，
故选：C．
二．填空题
8．如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选　C　点（C或D）．
【解析】解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点．
故答案为：C．
9．如图∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是　15　．
【解析】解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，
连接OD，OE，
∵P、D关于OA对称，
∴OD＝OP，PM＝DM，
同理OE＝OP，PN＝EN，
∴OD＝OE＝OP＝15，
∵P、D关于OA对称，
∴OA⊥PD，
∵OD＝OP，
∴∠DOA＝∠POA，
同理∠POB＝∠EOB，
∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°═60°，
∵OD＝OE＝15，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE＝15，
即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，
故答案为15．
10．如图，锐角△ABC的边AC＝6，△ABC的面积为15，AD平分∠BAC交BC于D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　5　．
【解析】解：作N关于AD的对称点为R，作AC边上的高BE（E在AC上），
∵AD平分∠CAB，△ABC为锐角三角形，
∴R必在AC上，
∵N关于AD的对称点为R，
∴MR＝MN，
∴BM+MN＝BM+MR，
即BM+MN＝BR≥BE（垂线段最短），
∵△ABC的面积是15，AC＝6，
∴×6×BE＝15，
∴BE＝5，
即BM+MN的最小值为5．
11．小镇A与B在公路同侧，如图，A到公路的距离为45里，要在公路边建一个货站，及货站到A、B的两条乡道，经计算，两条乡道总长最短可为140里，此时两条乡道的夹角为120°，则B到公路的距离为　25　里．
【解析】解：如图，作A关于直线l的对称点A'交直线l于D，连接A'B交直线l于P，连接AP，过B分别作BE⊥l交l于E、作BC⊥AA'交AA'于C，
∵∠CDE＝∠DEB＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BE＝CD，
由题得：A'D＝45（里），A'B＝140（里），∠APB＝120°，
∵∠APD＝∠A'PD＝∠BPE，
∴∠A'PD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∵BC∥DE，
∴∠A'BC＝30°，
∴A'C＝A'B＝70（里），
∴CD＝BE＝70﹣45＝25（里）．
故答案为：25．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝16，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是　16　．
【解析】解：作A关于BC的对称点A'，连接A′D，
则A′D的长度就是AP+DP的最小值，
连接A′B，
∵BC⊥AA′，AC＝A′C
∴AB＝A′B，AP＝A′P，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠A＝60°，
∴△AA'B为等边三角形，
∴A′D＝BC＝16，
∴AP+DP＝A'P+PD＝A′D＝16，
∴AP+DP的最小值是16，
故答案为：16．
三．解答题
13．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP+PQ+QN最短．
【解析】解：如图：
作点M关于OA的对称点M′，作点N关于OB的对称点N′，
连接M′N′交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．
14．如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．
（1）直接写出点B的坐标为　（a，﹣a﹣b）　；
（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小；
（3）∠OAP＝　45　度．
【解析】解：（1）点B的坐标为（a，﹣a﹣b）；
故答案为：（a，﹣a﹣b）．
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）过B作BD⊥y轴于D，D（0，﹣a﹣b），
则BD＝﹣a，OD＝﹣a﹣b，
由（2）知A与A′关于x轴对称，
∴A′O＝AO＝b，
∴A′D＝BD，
在Rt△A′DB中，∠A′DB＝90°，A′P＝AP，
∴∠BA′D＝∠B＝45°，
∵A与A′关于x轴对称，
∴∠OAP＝∠DA′P＝45°．
故答案为：45．
15．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（3）四边形BCC1B1的面积为　12　．
【解析】解：（1）如图所示：
；
（2）如图所示：
；
（3）
∵每小格均为边长是1的正方形，
∴CC1＝4+4＝8，BB1＝2+2＝4，BB1和CC1之间的距离为2，
∴四边形BCC1B1的面积为×（8+4）×2＝12，
故答案为：12．
16．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8．点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请你在横线上补充其推理过程或理由．
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′，
因为∠ACB＝90°（已知），
所以
　AC⊥BB'　（垂直的定义），
所以PB＝　PB'　（线段垂直平分线的性质），
所以PB+PD＝PB′+PD（等式性质），
所以过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′．
在△ABC和△AB′C中，
因为∠ACB＝∠ACB′＝90°，AC＝AC，　BC＝B′C　，
所以△ABC≌△AB′C（理由：　SAS　），
所以SABB′＝S△ABC+　S△AB'C　＝2S△ABC（全等三角形面积相等），
因为S△ABB′＝×AB×B'D＝×10×B′D＝5B′D，
又因为S△ABB′＝2S△ABC＝2××BC×AC＝2××6×8＝48，
所以
　　（同一三角形面积相等），
所以B′D＝，
所以
　PB+PD的最小值为　．
【解析】解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′，
因为∠ACB＝90°（已知），
所以
AC⊥BB'（垂直的定义），
所以PB＝PB'（线段垂直平分线的性质），
所以PB+PD＝PB′+PD（等式性质），
所以过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′．
在△ABC和△AB′C中，
因为∠ACB＝∠ACB′＝90°，AC＝AC，BC＝B′C，
所以△ABC≌△AB′C（理由：SAS），
所以SABB′＝S△ABC+S△AB'C＝2S△ABC（全等三角形面积相等），
因为S△ABB′＝×AB×B'D＝×10×B′D＝5B′D，
又因为S△ABB′＝2S△ABC＝2××BC×AC＝2××6×8＝48，
所以
（同一三角形面积相等），
所以B′D＝，
所以
PB+PD的最小值为．
故答案为：AC⊥BB'；PB'；BC＝B′C；SAS；S△AB'C；；PB+PD的最小值为．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠AMN的度数是　50°　．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50°；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC＝14﹣8＝6（cm）；
②当P与M重合时，△PBC的周长最小．
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，
∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．
18．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD＝12，试求PC+PE的最小值．
【解析】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵AD＝12，点E是边AC的中点，
∴AD＝BE＝12，
∴PE+PC的最小值是12．
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精品试卷·第
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