22.1 二次函数的图象和性质同步练习（含解析）

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22.1二次函数的图象和性质同步练习
一．选择题
1．（2020秋?安庆期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+4的对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．直线x＝1，（1，﹣4）
B．直线x＝1，（1，4）
C．直线x＝﹣1，（﹣1，4）
D．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣4）
2．（2021春?阳信县期末）将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+2）2+1
B．y＝2（x﹣4）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣3
D．y＝2（x﹣4）2﹣3
3．（2020秋?炎陵县期末）已知二次函数y＝（m+2），当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
4．（2020秋?汉寿县期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＝y2＜y3
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y2＝y3
D．y3＜y1＝y2
5．（2020秋?九龙坡区期末）函数y＝x2﹣6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（　　）
A．﹣3
B．﹣1
C．3
D．﹣1或3
6．（2020秋?潜山市期末）在函数y＝﹣x2+bx+c中，y与x的部分对应值如表，则m、n的大小关系为（　　）
x
……
﹣1
1
3
4
……
y
……
﹣6
m
n
﹣6
……
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．无法确定
7．（2020秋?东阳市期末）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m＝，n＝
B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6
D．m＝1，n＝﹣2
8．（2021春?天心区期末）函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．
D．
9．（2020秋?九龙坡区期末）已知实数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥3
B．a＞3
C．a≤3
D．a＜3
10．（2020秋?东营区期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤（a+c）2＜b2．其中结论正确的为（　　）
A．①②④
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②③④
二．填空题
11．（2020秋?肃州区期末）如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是　　．
12．（2020秋?桃江县期末）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，则抛物线y＝x2+bx+1的顶点坐标为　
　．
13．（2021春?栖霞区月考）将二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位后再沿x轴翻折，得到的图象对应的函数表达式是　
　．
14．（2021春?海曙区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1的顶点恰好在x轴上，则a＝　
　．
15．（2020秋?醴陵市期末）已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为
　．
16．（2021?菏泽）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是
　
　．
三．解答题
17．（2021春?青秀区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（1，2），B（﹣3，2）两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标．
18．（2021春?雨山区校级月考）分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．
19．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且其顶点在直线y＝﹣2x﹣2上．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（4）当﹣1＜x＜4时，直接写出y的取值范围．
20．（2020秋?北仑区期末）已知抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜4）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
21.（2021?鄄城县模拟）如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
22．（2020秋?耿马县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣1，0）、B（2，3）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2021?海淀区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为　
　；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋?安庆期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+4的对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．直线x＝1，（1，﹣4）
B．直线x＝1，（1，4）
C．直线x＝﹣1，（﹣1，4）
D．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣4）
【解析】解：∵抛物线为y＝2（x﹣1）2+4，
∴对称轴是直线x＝1，
顶点坐标（1，4）．
故选：B．
2．（2021春?阳信县期末）将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+2）2+1
B．y＝2（x﹣4）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣3
D．y＝2（x﹣4）2﹣3
【解析】解：抛物线y＝2x2﹣4x+1可化y＝2（x﹣1）2﹣1，
将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，
则平移后的抛物线解析式为y＝2（x﹣1﹣3）2﹣1﹣2，即y＝2（x﹣4）2﹣3，
故选：D．
3．（2020秋?炎陵县期末）已知二次函数y＝（m+2），当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
【解析】解：由y＝（m+2）x是二次函数．且当x＜0时，y随x的增大而增大，得：
，
解得：，
综上，m＝﹣，
故选：A．
4．（2020秋?汉寿县期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＝y2＜y3
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y2＝y3
D．y3＜y1＝y2
【解析】解：当x＝0时，y1＝1+h，
当x＝2时，y2＝1+h，
当x＝3时，y3＝4+h，
∵1+h＝1+h＜4+h，
∴y1＝y2＜y3，
故选：A．
5．（2020秋?九龙坡区期末）函数y＝x2﹣6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（　　）
A．﹣3
B．﹣1
C．3
D．﹣1或3
【解析】解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
∴向左平移m个单位后的函数解析式为y＝（x﹣3+m）2，
∵函数图象经过坐标原点，
∴（0﹣3+m）2＝0，
解得m＝3．
故选：C．
6．（2020秋?潜山市期末）在函数y＝﹣x2+bx+c中，y与x的部分对应值如表，则m、n的大小关系为（　　）
x
……
﹣1
1
3
4
……
y
……
﹣6
m
n
﹣6
……
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．无法确定
【解析】解：∵抛物线经过点（﹣1，﹣6）和（4，﹣6），
∴抛物线的对称轴为＝，
∴点（1，m）到对称轴的距离小于点（3，n）到对称轴的距离，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴m＞n，
故选：A．
7．（2020秋?东阳市期末）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　）
A．m＝，n＝
B．m＝5，n＝﹣6
C．m＝﹣1，n＝6
D．m＝1，n＝﹣2
【解析】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n关于x轴对称，
∴﹣y＝x2+（3m+n）x﹣n，
∴x2+（3m+2n）x﹣n＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4，
∴，
解得，
故选：B．
8．（2021春?天心区期末）函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．
D．
【解析】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有可能．
故选：D．
9．（2020秋?九龙坡区期末）已知实数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥3
B．a＞3
C．a≤3
D．a＜3
【解析】解：∵y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴≥﹣1，
解得a≤3，
故选：C．
10．（2020秋?东营区期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤（a+c）2＜b2．其中结论正确的为（　　）
A．①②④
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②③④
【解析】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝﹣1时，y＞0，即：a﹣b+c＞0．
当x＝1时，y＜0，即：a+b+c＜0
两式相乘得（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2．故⑤正确．
故选：C．
二．填空题
11．（2020秋?肃州区期末）如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是　0　．
【解析】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，
解得：k＝0，
故答案为：0．
12．（2020秋?桃江县期末）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，则抛物线y＝x2+bx+1的顶点坐标为　（2，﹣3）　．
【解析】解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴﹣＝，
解得，b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线y＝x2+bx+1的顶点坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
13．（2021春?栖霞区月考）将二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位后再沿x轴翻折，得到的图象对应的函数表达式是　y＝﹣x2+2x﹣2　．
【解析】解：二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位得到新的函数解析式为y＝（x﹣1）2+1，再将y＝（x﹣1）2+1沿x轴翻折得到新的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣1＝﹣x2+2x﹣2，
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣2
14．（2021春?海曙区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣ax+a﹣1的顶点恰好在x轴上，则a＝　2　．
【解析】解：x2﹣ax+a﹣1＝0中判别式Δ＝a2﹣4（a﹣1），
由题意得a2﹣4（a﹣1）＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
15．（2020秋?醴陵市期末）已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为　25　．
【解析】解：∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，
∴对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣2，解得m＝﹣16，
∴y＝4x2+16x+5，那么当x＝1时，函数y的值为25．
故答案为25．
16．（2021?菏泽）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是
　①②③　．
【解析】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．
∵此抛物线的的对称轴为直线x＝＝＝，
∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；
∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；
∵m＜0，
∴对称轴x＝＝，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
即x＞时，y随x的增大而减小．
故④错误．
故答案为：①②③．
三．解答题
17．（2021春?青秀区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（1，2），B（﹣3，2）两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标．
【解析】解：（1）把A（1，2），B（﹣3，2）代入y＝ax2+bx﹣1，
得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1．
（2）由题意得，y＝x2+2x﹣1+3，
故平移后得解析式为y＝x2+2x+2，
∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，a＝1＞0，
∴开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）．
18．（2021春?雨山区校级月考）分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．
【解析】解
（1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）
由题意得，解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+3，
把（1，﹣3）代入，得a（1+2）2+3＝﹣3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（或y＝﹣x2﹣x+）．
19．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且其顶点在直线y＝﹣2x﹣2上．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（4）当﹣1＜x＜4时，直接写出y的取值范围．
【解析】解：（1）把x＝1代入y＝﹣2x﹣2得，y＝﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，
即抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（3）画出图象如图：
（4）当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．
20．（2020秋?北仑区期末）已知抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜4）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．
∴﹣2＝a（2﹣4）2+2，
解得a＝﹣1；
（2）∵y＝﹣（x﹣4）2+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝4，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜4时，x随着y的增大而增大，
∵m＜n＜4，
∴A、B在对称左侧，
∴y1＜y2．
21.（2021?鄄城县模拟）如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，
点M坐标为（2，﹣3）；
（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），
因为AB＝5+1＝6，
且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，
所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．
22．（2020秋?耿马县期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣1，0）、B（2，3）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点D（1，4），
设直线AB的解析式为：y＝kx+d，
代入A、B两点，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
设直线AB与抛物线对称轴交于点E，则E（1，2），
∴；
（3）存在，理由如下：
设点P（1，m），
∴AC2＝12+32＝10，CP2＝12+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，AP2＝m2+4，
△ACP是直角三角形需分三种情况讨论：
①当∠APC＝90°时，AP2+CP2＝AC2，即m2+4+m2﹣6m+10＝10，
解得：m1＝1，m2＝2，
此时点P的坐标为（1，1）或（1，2）；
②当∠ACP＝90°时，AC2+CP2＝AP2，即10+m2﹣6m+10＝m2+4，
解得：，
此时点P的坐标为；
③当∠PAC＝90°时，AP2+AC2＝PC2，即m2+4+10＝m2﹣6m+10，
解得：，
此时点P的坐标为；
综上所述，满足条件的P点的坐标为（1，1）或（1，2）或或．
23．（2021?海淀区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为　x＝﹣1　；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4
＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，
∵抛物线顶点在x轴上，
即当x＝﹣1时，y＝0，
∴3a2﹣a﹣4＝0，
解得．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．
（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
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精品试卷·第
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（共
2
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