22.2 二次函数与一元二次方程同步练习（含解析）

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人教版九年级上
22.2二次函数与一元二次方程同步练习
一．选择题
1．（2020?成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
2．（2021?江干区模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+3x+3，y2＝x2+4x+4，y3＝x2+5x+5．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则（　　）
A．M1＝0，M2＝0，M3＝0
B．M1＝2，M2＝2，M3＝2
C．M1＝0，M2＝1，M3＝2
D．M1＝0，M2＝2，M3＝1
3．（2020?大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（，0）
B．（3，0）
C．（，0）
D．（2，0）
4．（2021?碑林区校级模拟）抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为（　　）
A．3
B．2
C．2或﹣3
D．2或3
5．（2020秋?定西期末）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2021的值为（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
6．（2021?兴化市模拟）已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），且与x轴只有一个交点，则n的值为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
7．（2021?碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2
B．m＜x1＜x2＜n
C．m＜x1＜n＜x2
D．x1＜m＜x2＜n
8．（2021?碑林区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（　　）
A．﹣11＜n＜﹣2
B．﹣6＜n＜﹣3
C．﹣11＜n≤﹣2
D．﹣11＜n＜﹣6
9．（2021?遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
10．（2020?武汉模拟）在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（　　）
A．a＝b
B．a＝b﹣1
C．a＝b或a＝b+1
D．a＝b或a＝b﹣1
二．填空题
11．（2021春?雨花区校级期末）一个二次函数图象与x轴交于点（2，0），（1，0），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为
　
　．
12．（2021?凉山州模拟）若y＝（m﹣1）x|m|+1+8mx﹣8是关于x的二次函数，则其图象与x轴的交点坐标为
　
　．
13．当m　
　时，抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+m﹣1与x轴没有交点．
14．（2020秋?崇川区期末）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　
　．
15．（2020秋?娄星区期末）如图所示为抛物线y＝ax2+2ax﹣3的图象，则一元二次方程ax2+2ax﹣3＝0的两根为　
　．
16．（2021?怀宁县模拟）已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为　
　．
三．解答题
17．（2021春?浦江县期末）已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边）．
（1）求AB两点间的距离及抛物线的顶点坐标．
（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点B．求平移后新的抛物线表达式．
18．（2020秋?拱墅区期末）已知二次函数y＝（x+m）（x﹣1）的图象经过点（2，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程（x+m）（x﹣1）＝﹣3的解．
②当x满足什么条件时，y＞0．
19．（2020秋?长寿区期末）设b为常数，已知二次函数y＝﹣2x2﹣2bx+b2+1．
（1）求证：无论b为何值，该二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
（2）若把二次函数的图象沿y轴方向平移2个单位长度，则使得该二次函数的图象与x轴恰有一个公共点，求b的值．
20．（2020?黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
21．（2021?河南模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为（3，0），
①求此时二次函数的解析式；
②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围是﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当﹣2≤x≤﹣1时，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象，求m的取值范围．
22．（2021?杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
23．（2018?乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2020?成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
【解析】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；
当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；
故选：D．
2．（2021?江干区模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+3x+3，y2＝x2+4x+4，y3＝x2+5x+5．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则（　　）
A．M1＝0，M2＝0，M3＝0
B．M1＝2，M2＝2，M3＝2
C．M1＝0，M2＝1，M3＝2
D．M1＝0，M2＝2，M3＝1
【解析】解：在y1＝x2+3x+3中，
b2﹣4ac＝32﹣4×3＝﹣3＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴M1＝0；
在y2＝x2+4x+4中，
b2﹣4ac＝42﹣4×4＝0，
∴抛物线与x轴有1个交点，
∴M2＝1；
在y3＝x2+5x+5中，
b2﹣4ac＝52﹣4×5＝5＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点，
∴M3＝2；
故选：C．
3．（2020?大连）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（，0）
B．（3，0）
C．（，0）
D．（2，0）
【解析】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
4．（2021?碑林区校级模拟）抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为（　　）
A．3
B．2
C．2或﹣3
D．2或3
【解析】解：抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，
即与x轴有一个交点，与y轴一个交点．
令y＝0得x2+2x+a﹣2＝0，
∵与x轴一个交点时，
∴Δ＝4﹣4（a﹣2）＝0，
解得a＝3，
故选：A．
5．（2020秋?定西期末）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2021的值为（　　）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
【解析】解：将（m，0）代入抛物线表达式得：m2﹣m﹣1＝0，
则﹣2m2+2m+2021＝﹣2（m2﹣m）+2021＝﹣2+2021＝2019，
故选：B．
6．（2021?兴化市模拟）已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），且与x轴只有一个交点，则n的值为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
【解析】解：∵A（1，n），B（3，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
即﹣＝2，解得b＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+c
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴△＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4，
把A（1，n）代入得n＝1﹣4+4＝1．
故选：C．
7．（2021?碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2
B．m＜x1＜x2＜n
C．m＜x1＜n＜x2
D．x1＜m＜x2＜n
【解析】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
8．（2021?碑林区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（　　）
A．﹣11＜n＜﹣2
B．﹣6＜n＜﹣3
C．﹣11＜n≤﹣2
D．﹣11＜n＜﹣6
【解析】解：由题意得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x﹣3，
则抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
函数的大致图象如下：
当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣11，
∵x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，
则n在y＝﹣11和顶点之间，
即﹣11＜n≤﹣2，
故选：C．
9．（2021?遂宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．
其中正确的结论有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【解析】解：①二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．
∴abc＜0．
①错．
②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
②错．
③∵，
∴b＝﹣2a．
又当x＝﹣1时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
2c＜3b．
∴③正确．
④∵x＝1时函数有最大值，
∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
∴④正确．
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错．
综上：③④正确，故选：A．
10．（2020?武汉模拟）在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（　　）
A．a＝b
B．a＝b﹣1
C．a＝b或a＝b+1
D．a＝b或a＝b﹣1
【解析】解：∵函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，
∴（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，
∴a＝2；
∵函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，
∴当mn＝0时，该函数为y＝（m+n）x+1与x轴有一个交点，
∴b＝1；
当mn≠0时，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，
∴b＝2；
由上可得，a＝b+1或a＝b，
故选：C．
二．填空题
11．（2021春?雨花区校级期末）一个二次函数图象与x轴交于点（2，0），（1，0），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为
　y＝﹣2x2+6x﹣4　．
【解析】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣1），将点（0，﹣4）代入得，
2a＝﹣4，解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）（x﹣1）
＝﹣2x2+6x﹣4．
故答案为y＝﹣2x2+6x﹣4．
12．（2021?凉山州模拟）若y＝（m﹣1）x|m|+1+8mx﹣8是关于x的二次函数，则其图象与x轴的交点坐标为
　（﹣2，0）　．
【解析】解：∵|m|+1＝2，
∴m＝±1，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣2x2﹣8x﹣8＝﹣2（x+2）2，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
13．当m　＜0.5　时，抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+m﹣1与x轴没有交点．
【解析】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+m﹣1与x轴没有交点．
∴一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0无实数根，
即，
解得：m＜0.5，
故答案为m＜0.5．
14．（2020秋?崇川区期末）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　﹣2≤a＜4　．
【解析】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9
＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0，
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4．
故答案为：﹣2≤a＜4．
15．（2020秋?娄星区期末）如图所示为抛物线y＝ax2+2ax﹣3的图象，则一元二次方程ax2+2ax﹣3＝0的两根为　x1＝1，x2＝﹣3　．
【解析】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴一元二次方程ax2+2ax﹣3＝0的两根为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
16．（2021?怀宁县模拟）已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为　1或3或　．
【解析】解：当a﹣1＝0时，即a＝1，函数为y＝﹣2x﹣2，此一次函数与坐标轴共有两个交点；
当a﹣1≠0，此函数为二次函数，
若a﹣3＝0，抛物线解析式为y＝2x2﹣6x，抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；
若Δ＝0，抛物线的顶点在x轴上，即△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x﹣＝﹣（x+3）2，抛物线的顶点为（﹣3，0），则抛物线与两坐标轴共有两个交点．
综上所述，a的值为1或3或．
故答案为1或3或．
三．解答题
17．（2021春?浦江县期末）已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边）．
（1）求AB两点间的距离及抛物线的顶点坐标．
（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点B．求平移后新的抛物线表达式．
【解析】解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0，得：x＝﹣1或＝3，
∴AB＝|﹣1﹣3|＝4，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为
（1，﹣4）；
（2）设新抛物线表达式：y＝（x﹣m）2﹣3，把（3，0）代入得：m＝3士，
∴新地物线表达式是：y＝（x﹣3+）2﹣3或y＝（x﹣3﹣）2﹣3．
18．（2020秋?拱墅区期末）已知二次函数y＝（x+m）（x﹣1）的图象经过点（2，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程（x+m）（x﹣1）＝﹣3的解．
②当x满足什么条件时，y＞0．
【解析】解：（1）将点（2，﹣3）的坐标代入y＝（x+m）（x﹣1）并解得m＝﹣5，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣5）（x﹣1）＝x2﹣6x+5；
（2）从函数的表达式看，函数的对称轴为x＝3，则点（2，﹣3）的对称点为（4，﹣3），抛物线和y轴的交点为（0，5），抛物线的x轴的交点为（1，0）、（5，0），
根据上述5个点描点、连线绘制函数图象如下：
①从图象看，y＝﹣3和抛物线的交点的横坐标为x＝2或4，
即方程（x+m）（x﹣1）＝﹣3的解为x＝2或4；
②从图象看，当x＜1或x＞5时，y＞0．
19．（2020秋?长寿区期末）设b为常数，已知二次函数y＝﹣2x2﹣2bx+b2+1．
（1）求证：无论b为何值，该二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
（2）若把二次函数的图象沿y轴方向平移2个单位长度，则使得该二次函数的图象与x轴恰有一个公共点，求b的值．
【解析】解：（1）令y＝﹣2x2﹣2bx+b2+1＝0，
则△＝（﹣2b）2+8（b2+1）＝12b2+8＞0，
∴方程﹣2x2﹣2bx+b2+1＝0一定有两个不同时实数解，
即无论b为何值，该二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
（2）∵y＝﹣2x2﹣2bx+b2+1＝﹣2（x+b）2++1，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣，+1），且抛物线开口向下，
∴+1＝2，
解得b＝．
20．（2020?黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，则y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）∵a＝﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝﹣2或x＝0（与点C重合，舍去）；
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．
21．（2021?河南模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）若点B的坐标为（3，0），
①求此时二次函数的解析式；
②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围是﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；
（2）将该二次函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当﹣2≤x≤﹣1时，这个新函数的函数值y随x的增大而增大，结合函数图象，求m的取值范围．
【解析】解：（1）①∵二次函数为y＝﹣x2+2mx+4﹣m2＝﹣（x﹣m）2+4，对称轴为直线x＝m，
令x＝3，则﹣（m﹣3）2+4＝0，解得：m＝1或m＝5，
∵B（3，0）为该二次函数图象与x轴靠右侧的交点，
∴点B在对称轴右侧，
∴m＜3，故m＝1，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．（或y＝﹣（x﹣1）2+4）；
②由于二次函数开口向下，且对称轴为直线x＝1，
∴2≤x≤n时，函数值y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，函数取得最大值3，当x＝m时，函数取得最小值﹣n2+2n+3＝﹣n﹣1，
∴在n＞2范围内，解得n＝4；
（2）令y＝0，得﹣（x﹣m）2+4＝0，解得x1＝m﹣2，与x2＝m+2，
将函数图象在x轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：
当x≤m﹣2时，y随x的增大而增大，
当m﹣2＜x≤m时，y随x的增大而减小
当m＜x≤m+2时，y随x的增大而增大，
当x＞m+2时，y随x的增大而减小
因此，若当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大，结合图象有：
①﹣1≤m﹣2，即m≥1时符合题意，
②m≤﹣2且﹣1≤m+2，即﹣3≤m≤﹣2时符合题意，
综上，m的取值范围是﹣3≤m≤﹣2或m≥1．
22．（2021?杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
【解析】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以
P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以
P+Q＞6，得证．
23．（2018?乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．
【解析】（1）证明：由题意可得：
Δ＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）
＝1+25m2﹣10m+20m
＝25m2+10m+1
＝（5m+1）2≥0，
故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0，
（x﹣5）（mx+1）＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝5，
由|x1﹣x2|＝6，
得|﹣﹣5|＝6，
解得：m＝1或m＝﹣；
（3）解：由（2）得，当m＞0时，m＝1，
此时抛物线为y＝x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x＝2，
由题已知，P，Q关于x＝2对称，
∴＝2，即2a＝4﹣n，
∴4a2﹣n2+8n＝（4﹣n）2﹣n2+8n＝16．
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精品试卷·第
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